Question

1.Fie S=2 la 0 + 2 la 1 + 2 la 2 + 3 la 3 + ... + 2 la 99 .
a) Demonstrati ca S divizibil cu 15.
b) Aratati ca S are cel putin 30 de cifre.

2.Rezolvati ecuatia 3 la puterea x+3 + 3 la x+2 - 3 la x = 315

3.Fie S=1+3+3 la 2 + 3 la 3 +...+ 3 la 80.
a) Aratati ca S divizibil cu 13.
b) Demonstrati ca 2S > 27 la 27 - 9.


4.Aratati ca numarul 4 la 15 este patrat perfect.

5.Scrieti numarul 35 la 37 ca suma de doua cuburi perfecte .

6.Fie a=1* 2 * 3 * 4 * ...* n + 57.
a) Pentru n=10 , aratati ca a nu este patrat perfect.
b)Determinati n apartine N , pentru care a este patrat perfect

6 . Se considera nr natural a=1 * 2 * 3 * 4 * ... * n + 48.
a) Pentru n = 20 , aratati ca a nu este patrat perfect.
b) Determinati n apartine N , pentru care a este patrat perfect.
AJUTORRRRRRR ... VA ROGG .... URGENT
Nu trebuie sa le faceti pe toate dar daca stiti va rog ajutati-ma ... :( :(
Ofer 19 puncte...

Answer 1

1. a) grupam termenii 4 cate 4.
$2^0+2^1+2^2+2^3=1+2+4+8=15$
$2^4+2^5+2^6+2^7=2^4*15$
......................................
$2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}=9^{96}*15$

b) Are 31 cifre: $(2^{100})/(10^{30})=(2^{70})/(5^{30})=(128^{10})/(125^{10})$

4. $4^{15}=4^{14}*4=(4^7*2)^2$

6. a) nu este patrat perfect pt ca se termina in 7
6. a) nu este patrat perfect pt ca se termina in 8 

Un numar nu este patrat perfect daca:
- are ultima cifra: 2, 3, 7 și 8.