Question

1)Fie trapezul isoscel ABCD,cu AB║CD,AB>CD,cu CM⊥AB,M∈(AB).Daca m(∡ABC)=45°,CD=8cm si CM=12cm,calculati lungimea bazei mari AB.

2)In trapezul dreptunghic ABCD,AB║CD,AB>CD,m(∡a)=90°,diagonala BD este bisectoatrea ∡ABC.Daca m(∡ABC)=60° si BD=36cm:
a)Demonstrati ca [BC]≡[CD]
B)Calculati lungimea segmentului [AD]

3)Fie trapezul isoscel ABCD cu AB║CD,AB>CD,in care m(∡a)=60° si AC⊥BC.
a)Aratati ca [AD]≡[DC]
b)Daca AD=10cm,calculati perimetrul trapezului.

Answer 1

1) ΔCMB este dreptunghic isoscel, deci MB = MC = 12 cm
Fie DN ⊥ AB, N∈AB
ΔADN este de asemenea dreptunghic isoscel, AN = DN = CM = 12 cm
AB = AN + NM + MB = 12 + CD + 12 = 24 + 8 = 32 cm

2)
a) m(CDB) = m(ADC) - m(ADB) = 90 - [90 - m(ABD)] = 90 - (90 - 30) = 90 - 60 = 30°
m(DBC) = m(ABC)/2 = 30°
deci ΔDCB este isoscel, [BC] ≡ [CD]

b) In ΔADB sin(ABD) = sin30 = 1/2 = AD/DB = AD/36
AD = 18 cm

3) a) m(DCA) = m(DCB) - m(ACB) = [180 - m(CBA)] - 90 = (180 - 60) - 90 = 120 - 90 = 30°
In ΔADC:
m(DAC) = 180 - m(ADC) - m(DCA) = 180 -120 - 30 = 30°
deci ΔADC este isoscel,  [AD]≡[DC]

b) P = AD + DC + CB + AB = 10 + 10 + 10 + AB = 30 + AB
In ΔABC cos(ABC) = cos 60 = 1/2 = BC/AB
1/2 = 10/AB
AB = 20 cm
P = 30 + 20 = 50 cm

Answer 2

1
1
1
1-IN TRIUNGHIUL NOU FORMAT BCM 
unghiul b=45,unghiul m=90 deci unghiul c=45 si avem triunghi dreptunghic isoscel deci avem 2 laturi congruente
mb=cm=12cm
din d ducem o perpendiculara pe ab in p congruenta cu cm
ap=mb=12 cm
ab=ap+pm+mb
ab=12+8+12=32 cm
2
-daca abc=60 grade si bd bisectoarea unghiului rezulta ca dba =60/2=30 grade
triunghiul dab dreptunghic in a si b 30 grade
latura opusa unghiului de 30 grade este jum din ipotenuza
ad=bd/2=36/2=18 cm
ducem din c perp pe ab in m
in triunghiul bcm m=90 grade,b=60 grade,deci c=30 grade
dcm=90 si mcb=30,deci dcb=120 rezulta cdb=30 grade
in triunghiul dcb avem 2 unghiuri congruente rezulta triunghi isoscel rezulta laturi congruente,deci cd=bc

3-avem trapez isoscel,deci ad=bc
unghiul a cong cu b=60 grade
d=c=120 grade
unghiul acb=90 rezulta acd=120-90=30
in triunghiul acb avem unghiul c=90 si b=60 rezulta cab=30  grade
60-30=30 rezulta dac=30 grade
in triunghiul dac avem 2 unghiuri congruente rezulta triunghi isoscel deci2 laturile sunt congruente ad=dc
ad=dc=bc=10 cm
in triunghiul acb a=30 grade si bc=10 cm
latura opusa 30 de grade este jum din ipot rezulta ca ab=2bc=20 cm
perim trapez este suma lat=3*10+20=50 cm