1. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A, cu masura unghiuluiABC=30° și AC= 10cm.
A) Determinați lungimile lacurilor AB și BC ale triunghiului
B) Aflați aria triunghiului ABC
C) Aflați aria cercului circumscris triunghiului ABC
2. În trapezul isoscel ABCD (AB||CD) BD|AD, AD=4cm și măsura unghiului BAD=60°
A) calculati perimetrul trapezului
b) calculati lungimea înălțimii drapelului.
c) Aflați distanta de la punctul D la latura BC
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a.
m(∡A)=90, m(∡B)=30 => m(∡C)=60
stim ca o cateta opusa ∡ de 30 grade este jumatate din ipotenuza, deci BC=2*AC=20
pt AB aplicam pitagora
AB²=20²-10²=400-100=300, deci AB=10√3
b. aria Δ dreptunghic este produsul catetelor impartit la 2, deci 10√3*10/2=50√3
c. in orice triunghi dreptunghic raza cercului circumscris triunghiului este jumatate din lungimea ipotenuzei, deci R=10, iar aria este π*R²=100*π
2. a. din măsura unghiului BAD=60° => măsura unghiului ADC=120°, iar AB>CD
construim inaltimile CC'si DD' pe latura AB
in Δ dreptunghic ADD', cum ∡DAD'=60 => ∡ADD'=30 grade, deci DD'= AD/2=2. tot aici, aplicand Pitagora =>D'A=√16-4=√12=2√3
dat fiind ca trapezul este isoscel rezulta ca aceleasi proprietati sunt valabile si in Δ dreptunghic BCC' si vom obtine ca CC'=2 si BC'=2√3
din BD⊥AD, rezulta ca BDA este dreptunghic. Stim ca ∡BAD=60 =>∡ABD=30 si deci, implicit BA=2*AD=2*4=8
din BA=8, AD'=C'B=2√3, BA=AD'+D'C'+C'B deducem ca D'C'=8-4√3 care este egal cu DC
perimetrul trapezului va fi 8+4+4+8-4√3=24-4√3
b. inaltimea trapezului este CC'=2=DD'
c. fie K picorul inaltimii duse din D pe BC => tr dreptunghic BKD
stim ca ∡BAD = 60° si fiind trapez isoscel => ∡ABC=60°
din punctul a stim ca ∡ABD=30°, deci ∡DBK=30°
in concluzie DK=BD/2
BD il putem afla prin pitagora din Δ drept ABD
BD²=AB²-AD²=64-16=56 deci BD=√56=2√14