Question

1. In Figura 1 se considera paralelogramul ABCD. Stim ca bisectoarele unghiurilor A si C intersecteaz laturile CD si AB in punctele E, respectiv F, ADC = 60°, iar AB=10 cm si AD = 6 cm. 60° B a) Calculati perimetrul paralelogramului. b) Sa se demonstreze ca AFCE este paralelogram. c) Aratati ca aria paralelogramului ABCD este mai putin de 60 cm². Figura 1​

Answer 1

EXPLICATIA:




ABCD paralelogram, AE, BE - bisectoare, E∈CD.
a) AE bisectoare, ⇒ ∡BAE=∡DAE. Dar AB║CD, ⇒ ∡BAE=∡DEA, ⇒ΔADE isoscel cu baza AE, ⇒AD=DE. (1)
BE bisectoare, ⇒ ∡ABE=∡CBE. Dar AB║CD, ⇒ ∡ABE=∡CEB, ⇒ΔBCE isoscel cu baza BE, ⇒BC=CE. (2) Dar AD=BC, din (1),(2), ⇒DE=CE, deci E este mijlocul laturii CD.
b) AD=5cm=BC=DE=CE, ⇒ DC=DE+CE=10cm. Atunci Perimetrul, P(ABCD)=2·(AD+DC)=2·(5+10)=30cm.
c) Aria(ABCD)=12cm², ⇒Aria(ACD)=(1/2)·Aria(ABCD)=(1/2)·12cm²=6cm².
O - mijlocul segmentului AC, ⇒ OE linie mijlocie în ΔACD, ⇒
OE=(1/2)·AD=5/2 și OE║AD. Atunci ΔOEC~ΔADC, deci EC/DC=5/10=1/2=k coeficientul de asemănare (proporționalitate). Atunci Aria(OEC)/Aria(ADC)=k²=(1/2)²=1/4. ⇒ Aria(OEC)/6=1/4, ⇒Aria(OEC)=6·(1/4)=3/2 =1,5 cm².
Atunci, Aria(AOED)=Aria(ACD)-Aria(OEC)=6-1,5=4,5cm².