Question

1)

În rombul ABCD se consideră AC intersectat cu BD={O}.Dacă AC=72 cm și proiecția lui [OA] pe AB are lungimea de 21,6 cm,calculați perimetrul și aria rombului ABCD.

2)

Stabiliți dacă ∆ABC și ∆MNP sunt asemenea,în fiecare dintre situațiile următoare:

a)

AB=6 cm,BC=9 cm,AC=12 cm,MN=12 cm,NP=9 cm,MP=18 cm

b)

AB=1,2 dm,BC=1,6 dm,AC=1,8 dm,MN=0,6 dm,NP=0,8 dm,MP=0,9 dm.

3)

Se consideră triunghiul dreptunghic ABC,m(<A)=90°.

a)

Dacă AB=6 cm și AC=8 cm,calculați BC,sin C,cos C,tg B,ctg B.

b)

Dacă AB=4 cm și BC=8 cm,calculați AC,sin B,cos B,tg C,ctg C.

Answer 1

AO = OC = AC : 2 = 72 : 2 =36 cm

Fie Proiectia lui O pe AB = E

ΔEAO dreptunghic ⇒ AE² = AO² - EO²

AE² = 36² - 21,6²

AE² = 1296 -466,56

AE² = 829.44 ⇒AE = 28.8 cm

Acum folosim teorema inaltimii

EO² = AE·BE

466,56 = 28,8 · BE ⇒BE = 466,56 / 28,8 = 16,2 cm

AB = AE+BE

AB = 28,8+16,2 = 45 cm

Perimetru romb = 4 ·AB = 4·45 = 180 cm

ΔABO dreptunghic ⇒ BO² = AB² - AO²

BO² = 45² - 36²

BO² = 9²(5²-4²)

BO = 9√9 ⇔ BO = 27 cm

BD = 2·BO ⇔ BD = 27 ·2 = 54 cm

A romb = AC ·BD / 2 = 54 · 72 /2 = 1944 cm²

2a) AB=6 cm,BC=9 cm,AC=12 cm,MN=12 cm,NP=9 cm,MP=18

Pai daca MN/AB = MP/AC = NP/BC O sa rezulte ⇒ triunghiurile sunt asemenea

MN/AB = MP/AC = NP/BC⇔ 12/6≠18/12≠9/9 [Aceste fractii nu sunt egale] ⇒ΔABC nu este asemenea cu ΔMNP

b)AB=1,2 dm,BC=1,6 dm,AC=1,8 dm,MN=0,6 dm,NP=0,8 dm,MP=0,9 dm.

Pai daca MN/AB = MP/AC = NP/BC O sa rezulte ⇒ triunghiurile sunt asemenea

MN/AB = MP/AC = NP/BC ⇔ 0,6/1,2 = 0,9/1,8 = 0,6/1,2 [Aceste fractii sunt egale] ⇒ ΔABC ≈ ΔMNP

3a) Dacă AB=6 cm și AC=8 cm,calculați BC,sin C,cos C,tg B,ctg B.

ΔABC , m(A) = 90° ⇒ BC² = AB² +AC²

BC² = 6²+8²

BC² = 36+64 = 100

BC = 10 cm

ΔABC , m(A) = 90°

sin(C) = AB/BC = 6/10 = 3/5

ΔABC , m(A) = 90°

cos(C) = AC/BC = 8/10 = 4/5

ΔABC , m(A) = 90°

tg(B) = AC/AB = 8/6 = 4/3

ΔABC , m(A) = 90°

ctg(B) = AB/AC = 6/8 = 3/4

b) Dacă AB=4 cm și BC=8 cm,calculați AC,sin B,cos B,tg C,ctg C.

ΔABC , m(A) = 90° ⇒ AC² = BC² -AB²

AC² = 8² - 4²

AC² = 64 - 16 = 48

AC = 4√3 cm

ΔABC , m(A) = 90°

sin(B) = AC/BC = 4√3 / 8 = √3/2

ΔABC , m(A) = 90°

cos(B) = AB/BC = 4/8 = 1/2

ΔABC , m(A) = 90°

tg(C) = AB/AC = 4 / 4√3 = 1/√3 [rationalizam] = √3 /3

ΔABC , m(A) = 90°

ctg(C) = AC/AB = 4√3 / 4 = √3/3