Question

1) În triunghiul ABC, [AD e bisectoarea unghiului BAC, D ∈ (BC). Fie DM || AC, M ∈ (AB) și DN || AB, N ∈ (AC). Să se arate că [AM] ≡ [AN] ≡ [DM] ≡ [DN]
2) În triunghiul ABC, AD⊥BC, D ∈ (BC). Se construiește DE || AC, E ∈ (BA) și DF || AB, F ∈ (AC). Să se arate că [AF] ≡ [DE] și [DF] ≡ [AF]

Answer 1

In ambele exercitii o sa aplicam de mai multe ori teorema secantelor: o dreapta care intersecteaza doua drepte paralele va avea la intersectie unghiuri egale
1) AD este bisectoarea unghiului BAC deci stim din start:
$\angle{BAD}=\angle{DAC}$
stim ca DM || AC, unde AD este linia concurenta, atunci stim ca:
$\angle{ADM}=\angle{DAC}$  Folosind relatia de mai sus rezulta ca:
$\angle{BAD}=\angle{MAD}=\angle{ADM}$ Ultimele doua unghiuri fac parte din acelasi triunghi MAD, de unde rezulta ca MAD este isoscel cu AM=MD

Folosind aceiasi relatie a secantelor, dar cu celelalte doua drepte paralele, DN || AB, avem similar
$\angle{ADN}=\angle{BAD}$ cu relatia $\angle{BAD}=\angle{DAC}$
rezulta
$\angle{ADN}=\angle{DAC}=\angle{DAN}$ de unde rezulta ca ADN este triunghi isoscel cu DN=AN

Avem pana acum: DN=AN si AM=DM mai trebuie sa aratam ca AM=AN
daca te uiti la triunghiurile ADM si ADN, ambele au o latura comuna AD, si au doua unghiuri egale:tex]\angle{ADN}=\angle{DAN}=\angle{MAD}=\angle{ADM}[/tex]
Este un caz de congruenta ULU, in care reiese ca triunghiurile sunt congruente, deci: AM=AN=DM=DN

 2) La doi nu sunt sigur, mai postez un comentariu daca imi vine vreo idee