Question

1.In triunghiul echilateral ABC,AB=24cm, fie D∈ BC si E∈ AC astfel incat BD≡DC si DE perpendiculat pe AC .Determinati lungimile EC, AE, AD si DE.
2.Fie M mijlocul ipotenuzei BC a triunghiului ABC. Daca m(<AMC)=120, AM=6 cm, si AD perpendicular pe BC(D∈BC), determinati lungimile segmentului BC, AB, AC si AD.(va rog frumos):*

Answer 1

1)Desenam triunghiul echilateral si scriem datele.
Vedem un triunghi dreptunghic DEC
Avem BD = DC = BC/2 =>DC = 12 cm si unghiul (<ECD) de 60 de grade.
Rezulta ca unghiul (<EDC) este de 30 de grade.
Conform teoremei unghiului de 30 de grade in triunghiul dreptunghic, avem 
EC = DC/2 => EC = 6 cm.
Daca il avem pe EC si il stim   pe AC atunci:
AE = AC - EC => AE = 24 - 6 => AE = 18 cm.
Avem D mijlocul [BC] => [AD] mediana. Cum intr-un triunghi echilateral mediana este si bisectoare si inaltime s.a => [AD] este si inaltime.
Ni s-a format un triunghi dreptunghic ADC in care avem:
DC = 12 cm
AC =  24 cm.
Atunci cu teorema lui Pitagora obtinem:
$AC^2=AD^2+DC^2=>AD^2=AC^2-DC^2=>AD^2=24^2-12^2=> \\ => AD^2= (24+12) (24-12)=> AD^2= 3 6 * 12=> AD = \sqrt{36*12} \\ => AD = 6 * 2 \sqrt{3} => AD = 12 \sqrt{3}$
Alternativ il puteam afla pe AD mai simplu cu formula:
$h = \frac{l \sqrt{3} }{2} => h = \frac{24 \sqrt{3} }{2} = 12 \sqrt{3}$
In acelasi triunghi dreptunghic ADC avem inaltimea DE.
Deci o putem calcula folosind:
$h = \frac{c_1*c_2}{ip} => h = \frac{12 \sqrt{3} * 12 }{24} => h = 6 \sqrt{3}$.
Deci DE este: 6√3 cm
2) Avem un triunghi dreptunghic ABC cu m(<A) de 90 de grade.
Avem o mediana [AM].
AM = 6 cm.
Conform teoremei medianei in triunghiul dreptunghic, BC = 2 * AM => BC = 12 cm.
Mergem in triunghiul AMC unde M este de 120 si AM = MC (Mediana corespunzatoare ipotenuzei este jumatate din ipotenuza si congruenta cu jumatatile formate de mijlocul ei.) => Triunghiul AMC este isoscel atunci:
m(C) = 30 de grade.
Cu teorema unghiului de 30 de grade obtinem AB = BC/2 => AB = 6 cm.
Cu teorema lui Pitagora obtinem:
$BC^2=AB^2+AC^2$ dupa care facem substitutia sa-l aflam pe AC:
$AC^2=BC^2-AB^2=>AC^2=12^2-6^2=> AC^2= (12-6)(12+6) \\ => AC^2 = 6 * 18 => AC^2 = 108 => AC = 6 \sqrt{3}$
Atunci calculam inaltimea folosind formula de calcul a inaltimii:
$h_{ip}= \frac{c_1*c_2}{ip} => h_{ip}= \frac{6*6 \sqrt{3} }{12} => h_{ip} = 3 \sqrt{3}$
Cu alte cuvinte AD este 3 radical din 3. Success!