Question

1. MODEL: a) Determinați numărul numerelor naturale cuprinse între 110 și 220 care sunt divizibile cu 2.
Numerele căutate sunt 112, 114, 116, ..., 218. Avem 112 = 2×56, 114 = 2×57, ..., 218 = 2×109. Problema revine la a determina câte numere naturale sunt de la 56 până la 109. Sunt 109 - 56 + 1 = 54 numere naturale.

b) Determinați numărul numerelor naturale cuprinse între 134 și 245 divizibile cu 3.
c) Determinați numărul numerelor naturale cuprinse între 27 și 324 divizibile cu 5.
d) Determinați numărul numerelor naturale cuprinse între 93 și 250 divizibile cu 9.

2. MODEL: a) Arătați că numărul A= 9¹⁹⁹⁶ - 7¹⁹⁹² este divizibil cu 10.
Vom calcula ultima cifră a numărului A. Ultima cifră a numărului 9¹⁹⁹⁶ este 1, iar ultima cifră a numărului 7¹⁹⁹² este egală tot 1, deci ultima cifră a lui A este 0. Conform criteriului de divizibilitate cu 10, obținem că A este divizibil cu 10.

b) Arătați că numărul B= 5²°¹³ - 3²°¹³ este divizibil cu 2.
c) Arătați că numărul C= 6²°¹³ - 3²°¹² este divizibil cu 5.

3. a) Scrieți numerele prime mai mici decât 35.
b) Determinați numerele prime a și b știind că 7a+16b = 94.
16b și 54 sunt numere pare, deci ...................................................................................... .

c) Determinați numerele prime a și b știind că 7a+16b=94.
16b și 94 sunt numere pare, deci ...................................................................................... .

d) Determinați numerele prime a, b, c știind că 2a+5b+6c= 74.

4. a) Determinați cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 18.
12= .......... 18= .......... = .......... = .......... .

b) Determinați cel mai mic multiplu comun al numerelor 240 și 150.
240= .......... 150= .......... = .......... = .......... .

5. a) Determinați cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la 24, 48 și 40 dă de fiecare dată restul 17 și câturi nenule.

b) Determinați cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la 12, 15 și 27 dă de fiecare dată restul 3 și câturi nenule.

c) Determinați cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la 14, 21 și 35 dă de fiecare dată restul 6 și câturi nenule.

VĂ ROG SĂ MĂ AJUTA-ȚI, ȘI SĂ SCRIEȚI ORDONAT, FRUMOS ȘI SĂ POT ÎNȚELEGE!!!

Answer 1

   
[tex]1a) ~~~ Avem~numerele: 112;~ 114;~ 116;~ ...;~ 218. \\ n = \frac{218-112}{2}+1= \frac{106}{2}+1=53+1= \boxed{54} \\ \\ 1b)~~~Avem~numerele: 135;~138;~141;~...;~243. \\ n = \frac{243-135}{3}+1= \frac{108}{3}+1=36+1= \boxed{37} \\ \\ 1c)~~~Avem~numerele: 30;~35;~40;~...;~320. \\ n = \frac{320-30}{5}+1= \frac{290}{5}+1=58+1= \boxed{59} \\ \\ 1d)~~~Avem~numerele: 99;~108;~117;~...;~243. \\ n = \frac{243-99}{9}+1= \frac{144}{9}+1=16+1= \boxed{17}[/tex]


$2a) U(9^{1996}) - U(7^{1992}) = U(9^{2\times 998})-U(7^{4\times 498})= \\ =U((9^2)^{998})-U((7^4)^{ 498})=U(81^{998})-U(2401^{ 498})=1-1=0 \\ \Rightarrow \boxed{A=(9^{1996} - 7^{1992})\;\vdots \;10} \\ \\ 2b) 5^n = numar ~impar, ~~~~~3^n = numar~impar,~~~ pt.~orcare ~n \in N \\ Numar ~impar-numar ~impar = numar~par \\ \Rightarrow \boxed{B=(5^{2013} - 3^{2013})\;\vdots \;2} \\ \\ 2c) U(6^{2013}) - U(3^{2012}) = 6-U(3^{4\times 503})= \\ =6-U(3^4)^{503})=6-U(81^{503}) = 6-1=5$
$\Rightarrow \boxed{C =(6^{2013}) - U(3^{2012}) \;\vdots\; 5}$


$3a) \{1;~2;~3;~5;~7;~11;~13;~17;~19;~23;~29;~31 \} \\ \\ 3b) ..............e ~o ~greseala.......... \\ \\ 3c) 7a+16b=94~~~~unde:~~a~si~b ~sunt~numere~prime \\ 94 = numar~ par~~si~~16b=numar~ par \\ \Rightarrow 7a = numar~ par \\ Singurul~numar~prim~par~este~2. \\ \Rightarrow a=\boxed{2} \\ 7\times 2 +16b=94 \\ 14+16b=94 \\ 16b = 94-14 = 80 \\ b= \frac{80}{16} =\boxed{5}$

[tex]3d) ~~~2a+5b+6c= 74 ~~~dar ~ 2a;~6c~si~74=numere ~prime \\ \Rightarrow b = \boxed{2} \\ 2a+5\times2+6c= 74 \\ 2a+10+6c= 74 \\ 2a+6c= 74-10 \\ 2a+6c=64 \\ \displaystyle a= \frac{64-6c}{2} ~~~~~(Dam ~valori ~lui~c ~si~obtinem ~mai ~multe~solutii.) \\ S1:~c=1 ~~~a=29 \\ S2:~c=3 ~~~a=23 \\ S3:~c=5 ~~~a=17 \\ S4:~c=7 ~~~a=11 [/tex]


$4a) ~12=2^2\times 3~~~~~18=2\times 3^2 ~~~\Rightarrow cmmmc = 2^2\times 3^2=\boxed{36} \\ \\ 4b)~240 = 2^4\times 3\times 5~~~~~150=2\times 3\times 5^2 \\ \Rightarrow cmmmc =2^4\times 3\times 5^2 =\boxed{1200}$


[tex]5a) ~~ n = cmmmc(24;~ 48;~ 40) + 17 \\ 24 = 2^3 \times 3 \\ 48 = 2^4 \times 3 \\ 40=2^3 \times 5 \\ cmmmc+17 = 2^4 \times 3 \times 5 +17=240+17=257 \\ \\ 5b)n=cmmmc(12;~15;~27)+3 \\ 12=2^2 \times 3 \\ 15 =3 \times 5 \\ 27=3^3 \\ cmmmc+3 = 2^2 \times 3^3 \times 5=540[/tex]

[tex]5c)~~~n=cmmmc(14;~21;~35)+6 \\ 14=2 \times 7 \\ 21=3 \times 7 \\ 35=5 \times 7 \\ cmmmc+6=2 \times 3 \times 5 \times 7 +6 = 210+6=\boxed{216}[/tex]