Question

1. Numărul natural n este cuprins între 200 şi 1000. Împărțindu-1 54, respectiv la 72, se obţine de fiecare dat
restul r, diferit de zero.
a) Determină cea mai mică valoare posibilă a lui n.
b) Determină cea mai mare valoare posibilă a lui n.

Answer 1

Răspuns:

a) 217; b) 917

Explicație pas cu pas:

n ÷ 54 = a + r

n ÷ 72 = b + r

a, b, r ∈ N

200/54 < a < 1000/54 => a ∈ [3; 18]

200/72 < b < 1000/72 => b ∈ [2; 13]

r ≠0, r < min(54;72) => r ∈ [1; 53]

n = 54a + r => n - r = 54a

n = 72b + r => n - r = 72b

54a = 72b <=> 3a = 4b

3 și 4 sunt prime între ele, deci a este multiplu de 4 și b este multiplu de 3 =>

a ∈ {4; 8; 12; 16}

b ∈ {3; 6; 9; 12}

a) a = 4, b = 3, r = 1

=> cea mai mică valoare posibilă a lui n, pentru cel mai mic r (r = 1):

n - 1 = 216 => n = 217

(217÷54=4 rest 1; 217÷72=3 rest 1)

b) a = 16, b = 12, r = 53

cea mai mare valoare posibilă a lui n, pentru cel mai mare r (r = 53):

n - 53 = 864 => n = 917

(917÷54=16 rest 53; 917÷72=12 rest 53)