Question

1.patrulaterul abcd cu ab||cd este inscris intr-un cerc de raza 10 cm.Lungimea AB este egala cu latura triunghiului echilateral inscris in cerc,iar lungimea CD cu latura hexagonului regulat inscris in cerc.Aflati aria patrulaterului ABCD.
2.Doua cercuri secante ,de centre O1 SI O2,au coarda comuna[AB].Stiind ca AB=12 cm,si ca [AB]este latura unui patrat inscris in cercul de centru O1 si latura unui triunghi echilateral inscris in cercul de centru O2,aflati distanta O1O2

Answer 1

1.  AB = L3     CD = L6 = R
-- alaturi de figura problemei desenam un cerc cu raza r = R = 10cm in care inscriem un Δ echilateral MNP cu MM' = h una dintre inaltimi (care trece prin centrul cercului  = =centrul de greutate al Δ );
--  centrul cercului circumscris acestui Δ se afla la intersectia mediatoarelor (care sunt si mediane si inaltimi )
-- deoarece centrul de greutate  se afla la 1/3 fata de baza Δ si la 2/3 fata de varf ⇒
⇒ h = R + R/2 = 3R/2 = 15cm 
-- h = L√3 /2  ⇒ AB = L3 = 2h/√3 = 10√3 cm
--  in figura problemei, in Δ DOC (echilateral) OE_|_CD  OE = h1 = CD√3/2 = 5√3cm
--  in ΔAOB OF_|_AB  se calculeaza OF = h2   h2² = AO² - AF² = 100 - 75 = 25 
 h2 = 5cm
--  patrulaterul ABCD = trapez (AB || CD)  cu inaltimea h = h1 + h2 = 5+5√3 = 5(1+√3)
--  A = 10(√3 + 1)·5(√3+1) /2 = 50(2+√3)cm²
2.  AB = L₄ = L₃ = 12cm
daca AB∧ O1O2 = {M} ⇒  O1O2 = O1M + MO2 = L4/2 + 1/3· h3 = 6 +2√3
(h3 = L3√3 /2)    O1O2 = 2(3+√3) cm