Question

1. Sa se arate ca
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 se divide cu 3.

2. Sa se arate ca daca n,m apartin N , atunci nm(n-m) este par

Answer 1

1. Unul din numerele n, n+1, sau n+2 trebuie sa fie divizibil cu trei, adica de forma M3.
Celelalte doua trebuie sa dea resturile 1 si 2 la impartirea cu 3, adica sa fie de forma M3+1 si M3+2
Inlocuim:
M3^3 + (M3+1)^3 +(M3+2)^3= M3 + M3 + 1² + M3 + 2² = M3 + 3 = M3
2. Avem n²m - nm²
Daca n sau m, sau amandoua sunt pare, atunci si n²m cu nm² sunt pare, deci diferenta va fi para.
Daca ambele sunt impare, atunci si n²m cu nm² vor fi impare. Diferenta dintre doua numere impare este un numar par.