Question

1 . Sa se determine m ∈ R astfel incat $x^{2} - (m-3) x+m-3 >3 ,$ pentru oricare x real.

2. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(0,a) , B(-1,2) si C(4,5) , unde a este un nr real. Sa se determine valorile lui a pentru care triunghiul ABC este dreptunghic in  A. 

3. Sa se rezolve ecuatia 3$3^{x} + 3^ {-x} = \frac{10}{3}$

Answer 1

1) Trebuie îndeplinită condiția Δ>0 în inecuația x²-(m-3)x+m-6>0 ⇔ (m-3)²-4(m-3)>0
⇔ (m-3)(m-7)>0, inecuație rezolvată cu tabel de semne ⇒ m∈(-∞,3)U(7,∞).

2) Trebuie respectată teorema lui Pitagora ⇔ $BC^2=AB^2+AC^2$
⇔ $(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2=$
$=(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2$
$(-1)^2+(2-a)^2+4^2+(5-a)^2=1+4-4a+a^2+16+25-10a-a^2$=
=$5^{2}+3^2=34$ ⇒ $46-14a=34$ ⇒$a= \frac{6}{7}$

3) $3^{x}+ \frac{1}{3^{x}}= \frac{10}{3}$
Aducând la același numitor ($3^x \neq 0$, deci, dispare) 
$3^{2x}+1= \frac{10}{3}3^x$
Substituim $3^x=t$ 
⇒$t^2- \frac{10}{3}t+1=0 \\ 3t^2-10t+3=0$ 
$(3t+1)(t+3)=0 \\ t_{1}=3, t_2= \frac{1}{3}=3^{-1}$ sau rezolvi cu Δ=64
⇒$x_1=1, x_2=-1$