Question

1. Să se rezolve inecuațiile şi sá se inter- preteze geometric rezultatele: A. a) 4x² - 19x + 12 ≤ 0; b) -2x² + 4x + 6 ≥ 0; c) 4x² - 20x + 2 > 0; d) -7x² + 3x-1<0 ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a) 4x² - 19x + 12 ≤ 0

considerăm funcția:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , f(x) = 4x² - 19x + 12$

rezolvăm ecuația:

4x² - 19x + 12 = 0

a = 4; b = -19; c = 12

Δ = b² - 4ac = 361 - 192 = 169 > 0

$x_{1} = \frac{ - ( - 19) - \sqrt{169} }{8} = \frac{19 - 13}{8} = \frac{3}{4}$

$x_{2} = \frac{ - ( - 19) + \sqrt{169} }{8} = \frac{19 + 13}{8} = 4$

a > 0 => parabolă cu ramurile îndreptate în sus

Δ > 0 => funcția are semnul lui a în afara rădăcinilor

din tabelul de semn pentru funcția f => soluția inecuației este:

$x \in \left[ \frac{3}{4} ; 4\right]$

b) -2x² + 4x + 6 ≥ 0

considerăm funcția:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , f(x) = -2x² + 4x + 6$

rezolvăm ecuația:

-2x² + 4x + 6 = 0

a = -2; b = 4; c = 6

Δ = b² - 4ac = 16 + 48 = 64 > 0

$x_{1} = \frac{ - 4 + \sqrt{64} }{2( - 2)} = \frac{ - 4 + 8}{ - 4} = - 1$

$x_{2} = \frac{ - 4 - \sqrt{64} }{2( - 2)} = \frac{ - 4 - 8}{ - 4} = 3$

a < 0 => parabolă cu ramurile îndreptate în jos

Δ > 0 => funcția are semnul lui a în afara rădăcinilor

din tabelul de semn pentru funcția f => soluția inecuației este:

$x \in \left[ - 1 ; 3\right]$

c) 4x² - 20x + 2 > 0

considerăm funcția:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , f(x) = 4x² - 20x + 2$

rezolvăm ecuația:

4x² - 20x + 2 = 0

a = 4; b = -20; c = 2

Δ = b² - 4ac = 400 - 32 = 368 > 0

$x_{1} = \frac{20 - \sqrt{368} }{8} = \frac{20 - 4 \sqrt{23} }{8} = \frac{5 - \sqrt{23} }{2}$

$x_{2} = \frac{20 + \sqrt{368} }{8} = \frac{20 + 4 \sqrt{23} }{8} = \frac{5 + \sqrt{23} }{2}$

a > 0 => parabolă cu ramurile îndreptate în sus

Δ > 0 => funcția are semnul lui a în afara rădăcinilor

din tabelul de semn pentru funcția f => soluția inecuației este:

$x \in \left(-\infty ; \frac{5 - \sqrt{23} }{2} \right) U \left(\frac{5 + \sqrt{23} }{2} ; +\infty \right)$

d) -7x² + 3x - 1 < 0

considerăm funcția:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , f(x) = -7x² + 3x - 1$

rezolvăm ecuația:

-7x² + 3x - 1 = 0

a = -7; b = 3; c = -1

Δ = b² - 4ac = 9 - 28 = -19 < 0

Δ < 0 => funcția are semnul lui a, ∀ x ∈ R

a < 0 => parabolă cu ramurile îndreptate în jos

din tabelul de semn pentru funcția f => soluția inecuației este:

$x \in \mathbb{R}$