Question

1. Se consideră funcţia : f:ℝ→ ℝ , f(x)= 2$x^{3}$+3$x^{2}$+5.

Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care F(1)=2015.

sau

2. Se consideră funcţia f:ℝ→ ℝ , f(x)=$xe^{x}$

Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care F(1)=e-3


Prima este de M2 iar a 2-a de M1, imi poate explica si mie cum se rezolva tipul asta de exercitiu? daca se poate pe o foaie si detaliat, MULTUMESC!

Answer 1

F(x)=  primitiva  lui   f
F(x)=∫2x³+3x²+5)dx=∫2x³dx+∫3x²dx+∫5dx=
∫2x³dx=2∫x³dx=2*x^4/4=x^4/2
∫3x²dx=3∫x²dx=3*x³/3=x³
In  ambele  cazuri  s-a   utilizat   formula ∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)
5∫dx=5x
F(x)=x^4/2+x³+5x+C

F(1)=2015=>
F(1)=1/2+1+5*1+C=(1+2+10)/2+C=2015
13/2+C=2015
C=2015-13/2=4017/2
F(x)=x^4/2+x³+5x+4017/2
-----------------------------------------------
2)
F(x)=∫x*e^xdx =  se   rezolva   prin  parti
u=x   du=dx
dv=e^xdx   v=e^x
F(x)=x*e^x-∫e^xdx=x*e^x-e^x=e^x(x-1)+c
F(1)=e-3
F(1)=e^1*(1-1)+c==e-3
e*0+c=e-3
c=e-3)
F(x)=x*e^x+e-3