Question

1. Se consideră funcţia : f: ℝ →ℝ , f(x)=cosx +$\frac{x^{2} }{2}$ .
c) Demonstraţi că f(x) ≥ 1, pentru orice x∈ℝ .

Answer 1

Folosind expansiunea Taylor:

cosx = (1 - x²/2!) + (x⁴/4! - x⁶/6!) + (x⁸/8! - x¹⁰/10!) + ...

Aceasta e o serie infinită și e clar că valoarea exactă nu poate fi obținută luând un număr finit de termeni.

⇒ (1 - x²/2!) + (x⁴/4! - x⁶/6!) + (x⁸/8! - x¹⁰/10!) + ... ≥ 1 - x²/2!

⇒ cosx ≥ 1 - x²/2!

⇒ cosx + x²/2! ≥ 1

⇒ f(x) ≥ 1

Answer 2

Răspuns:

.....................................................

Explicație pas cu pas: