Question

1. Se considera functia f:R→R, f(x)=$\frac{x}{ \sqrt{ x^{2} +1} } .$

c) Demonstrați că, pentru orice număr real a, a ∈ (-1,1), ecuatia f(x)=a are solutie unica.

Pe o foaie va rog mult. Sa inteleg.

Answer 1

Fie g:R→R, g(x)=f(x)-a. Demonstram ca g(x)=0 are o singura solutie daca a∈(-1,1).
g'(x)=f'(x)=1/√x²+1(x²+1)>0,∀x∈R⇒g strict crescatoare pe R
limg(x)=-1-a daca x→-∞
limg(x)=1-a daca x→+∞
x     | -∞                                                               +∞
g(x)| -1-a             ↑                       ↑             ↑      1-a
g'(x)|++++++++++++++++++++++++++++++++++
Se observa ca -1-a<1-a,∀a∈R.
Pentru a avea solutie unica, g fiind continua, trebuie ca:
-1-a<0⇒a>-1
 si
1-a>0⇒a<1
Concluzie: functia g are o unica solutie daca a∈(-1,1).