Question

1. Se consideră funcția ƒ:R→R, ƒ(x)=x²⁰⁰⁹ – 2009(x − 1) −1.

a) Să se calculeze f(0) + f'(0).
b) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției ƒ în punctul A(0;1).
c) Să se arate că funcția f este convexă pe [0; +∞).

Am nevoie. ​

Answer 1

funcția $f: \in \mathbb{R} \to \in \mathbb{R}, \ f(x) = x^{2009} - 2009\cdot(x-1)-1$

$f(x) = x^{2009} - 2009\cdot(x-1) - 1 = x^{2009} - 2009x + 2008$

a)

derivata funcției f este:

$f^{\prime}(x) = \Big({x}^{2009} - 2009x + 2008\Big)^{\prime} = \Big({x}^{2009}\Big)^{\prime} - 2009 \cdot \Big(x\Big)^{\prime} + 2008^{\prime} = 2009 \cdot {x}^{2009-1} - 2009 \cdot 1 + 0 = 2009 \cdot {x}^{2008} - 2009$

$f(0) = 0^{2009} - 2009 \cdot 0 + 2008 = 2008$

$f^{\prime}(0) = 2009 \cdot 0^{2008} - 2009 = - 2009$

$\implies f(0) + f^{\prime}(0) = 2008 - 2009 = - 1$

b)

ecuația tangentei la graficul funcției ƒ în punctul A(0;1)

$\boxed{y - f(x_{0})=f'(x_{0})(x - x_{0})}$

$x_{0} = 0 \implies y - 2008 = - 2009 \cdot (x - 0)$

$\implies \bf y = - 2009x + 2008$

c)

derivata de ordin 2:

$f^{\prime}^{\prime}(x) = \Big(f^{\prime}(x)\Big)^{\prime} = \Big(2009 \cdot {x}^{2008} - 2009\Big)^{\prime} = \Big(2009 \cdot {x}^{2008}\Big)^{\prime} - 2009^{\prime} = 2009 \cdot \Big({x}^{2008}\Big)^{\prime} - 0 = 2009 \cdot 2008 \cdot {x}^{2008-1} = 2008 \cdot 2009 \cdot {x}^{2007} \geq 0$

$f^{\prime}^{\prime}(x) \geq 0 \ \ \forall x \in \Big[0;+\infty\Big)$

⇒ f(x) este convexă pe [0,+∞)

q.e.d.