Question

1. Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(x+2)^{2} e^{-x}$.

$5 p$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=-x(x+2) e^{-x}, x \in \mathbb{R}$.

$5 p$ b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcţiei $f$.

$5 p$ c) Demonstrați că $0 \leq \frac{(x+2)(y+2)}{\sqrt{e^{x+y}}} \leq 4$, pentru orice $x, y \in[-2,+\infty)$.

Answer 1

$f(x)=(x+2)^2e^{-x}$

a)

Derivam dupa formula (fg)'=f'g+fg'

$f'(x)=((x+2)^2e^{-x})'=2(x+2)e^{-x}-(x+2)^2e^{-x}=e^{-x}(x+2)(2-x-2)=-x(x+2)e^{-x}$

b)

Ecuatia asimptotei orizontale, calculam limita spre +∞

$\lim_{x \to +\infty} (x+2)^2e^{-x}= \lim_{x \to +\infty} (x+2)^2\frac{1}{e^x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{(x+2)^2}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}$

Aplicam l'Hopital, derivam numarator, derivam numitor

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2(x+2)}{e^x}=\frac{\infty}{\infty}$

Aplicam iar l'Hopital

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} =\frac{2}{\infty} =0$

Dreapta de ecuatie y=0 este asimptota orizontala spre +∞ la graficul functiei f

c)

Studiem monotonia functiei f

f'(x)=0

-x(x+2)e⁻ˣ=0

x=0 si x+2=0, x=-2

Tabel semn

x        -∞          -2         0          +∞

f'(x)   - - - - - - - 0 + + + 0 - - - - -

f(x)           ↓     f(-2)  ↑  f(0)       ↓

                       0            4

f(-2)=0

f(0)=4

f este crescatoare pe intervalul (-2,0)⇒ 0≤f(x)≤4

0≤f(x)≤4

0≤f(y)≤4

Le inmultim si obtinem:

0≤f(x)f(y)≤16

Le bagam sub radical

$\sqrt{0} \leq \sqrt{f(x)f(y)} \leq \sqrt{16} \\\\0 \leq \sqrt{f(x)f(y)} \leq 4$

Calculam f(x)f(y)

$f(x)f(y)=(x+2)^2e^{-x}(y+2)^2e^{-y}=\frac{(x+2)^2(y+2)^2}{e^xe^y} =\frac{(x+2)^2(y+2)^2}{e^{x+y}}$

Atunci:

$\sqrt{f(x)f(y)} =\frac{(x+2)(y+2)}{\sqrt{e^{x+y}} } \\\\0\leq \frac{(x+2)(y+2)}{\sqrt{e^{x+y}} } \leq 4$

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/3522397

#BAC2022

#SPJ4