Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y=5(x+y-4)-x y$.

5p a) Arătați că $x * y=-(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

$5 p$ b) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x * x \geq x$.

5p c) Calculaţi $1 *(-2) * 3 *(-4) * \ldots * 2019 *(-2020)$.

Answer 1

$x * y=5(x+y-4)-x y$

a)

5(x+y-4)-xy=5x+5y-20-xy

Le grupam convenabil, astfel:

5x-xy+5y-20=

Dam factor comun astfel:

x(5-y)+5(y-5)+5    |×(-1)

x(y-5)-5(y-5)-5=(y-5)(x-5)-5=-(x-5)(y-5)+5

x*y=-(x-5)(y-5)+5

b)

x*x=-(x-5)(x-5)+5=-(x-5)²+5

-(x-5)²+5≥x

-(x-5)²-x+5≥0

-(x-5)²-(x-5)≥0

(x-5)[-(x-5)-1]≥0

(x-5)(4-x)≥0

(x-5)(x-4)≤0

x-5=0

x=5

x-4=0

x=4

x                -∞             4           5              +∞    

(x-5)(x-4)   + + + + + + 0 - - - - 0 + + + + + +

x∈[4,5]

c)

Aflam elementul absorbant

x*a=a

-(x-5)(a-5)+5=a

-(x-5)(a-5)-(a-5)=0

(a-5)(5-x-1)=0

a-5=0

a=5

Elementul absrobant fiind 5, orice numar compus cu 5 va da 5, deci raspunsul este 5

1*(-2)*3*(-4)*5*...*2019*(-2020)=5

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/5705475

#BAC2022

#SPJ4