Question

1. Se consideră numărul natural ab scris în baza 10 cu a # 0, b = 0 și a > b care îndeplineşte condiţia ab- ba = a +b. a) Arată că ab- ba = 9(a - b). b) Determină numărul natural ab.
​

Answer 1

Răspuns:

a) ab- ba = 9(a - b)

b) ab = 54

Explicație pas cu pas:

a) ab se poate scrie ca fiind 10a + b

atunci ab - ba = 10a + b - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a-b)

b) ab-ba = a+b  

Folosim egalitatea demonstrată la punctul a:

9(a-b) = a + b

9a - 9b = a + b

8a = 10b

$a = \frac{10b}{8} = \frac{5b}{4}$

Cum a este număr natural, trebuie ca și 5b/4 să fie număr natural.

Adică 4 să fie divizor al lui 5b, ceea ce înseamnă că b poate fi 4 sau 8.

Pentru b = 4 ⇒ a = 5

Pentru b = 8 ⇒ a = 10 - această variantă nu corespunde cerinței ca a să fie scris cu o singură cifră.

Așadar, singura soluție este: a = 5 ; b = 4

Numărul ab = 54.