Question

1)Stabiliti care dintre functiile de jos sunt injective:
f:R-->R,f(x)=x⁵-x³+1

Aici vom avea sistem:
f:R-->R,f(x)-->f(x)=3x, x≤0
x+1, x>0
2)Determinati m ∈ R pentru functia f:R-->R,f(x)=x-2m, x ≤ 1(este sistem)
3x, x>1

3) Aratati ca functia f:[-1,2]-->R,f(x)=x, x∈[-1,1)
3-x ,x∈ [1,2] este injectiva,dar nu este strict monotona.(este sistem)

4)Sa se determine paramatrul real m pentru ca functia f:R-->R sa fie surjectiva:
f(x)= x+m, x≥2 (aici este sistem)
2x+1, x<2

5)Stabiliti care dintre functii este bijectiva:
f:[0,∞)-->[1,∞),f(x)=x²+1
f:R\{-2}-->R\{3},f(x)=3x-1/x+2

6)Sa se determine paramatrul real m pentru ca functia f:R-->R sa fie bijectiva:(este sistem)
f(x)=-2x+m, x≤-1
-x+3, x>-1

Answer 1

2)f(x)={3x  x≤0
{x+1  x.>0

f(x)  =3x este  o  functie  de  grd  1  crescatoare  a=3>0  =.> f max=3*0=0=>
f(x)≤0
f(x)=x+1  este o  functie   crescatoare f(x)>1>f(0)=> Egalitate  exclusa->  f(x1)≠f(x2)∀ x1<x2  x∈R  deci  f  injectiva
3) f(x)=x  x∈[-1  1)
f(-1)=- 1  f(x)∈[-1 ,0)
f(x)=3-x  f(1)  3-1=2  f(2)=3-2=1  =>  f(x)∈[1,2]≠[-1 ,1)=>  f injectiva
Functia f  nu  este  strict  monotonona  pt  ca  pe  intervalul [-1,1)  este  strict  crescatoare (a=1>0) si  pe  intervalul  [1,2]  este  descrescatare ( a=-1<0)
4)  o  functie  e  surjectiva  daca  Imf= codomeniu
f(x)={x+m  x≥2
(2x+1  x<2
f(2)=2*2+1=5 => f((-∞ ,0)=(-∞,5)
f(2)=2+m=>
f((2 ,∞))=[m+2 ,∞)
  pui  conditia  ca  m+2=5  m=3
5)f:[0 ,∞)→[1,∞) f(x)=x^2+1
injectivitate  fie  x1,  x2≥0  astfel  incat  f(x1)=(f(x2)=.
x1^2+1=x2^2+1=.  >x1^2=x2^2=>  x1^2-x2^2=0=.> (x1-x2)(x1+x2)=0
x1-x2=0 =<x1=x2 x1+x2=0=>  x1=-x2  Imposibil  pt  ca  -x2<0=>
x1=x2 Deci  f  injectiva
surjectivitate
Verifici  daca  Imf= codomeniu  [1 ,∞)
functia este  crescatoare f(0)=1=>  f(x)>1=> f([0,∞))=[1,∞)=codomeniu
f=surjectiva=>
f=bijectiva