Question

1+$\\ \frac{1}{2}$+$\frac{1}{2 ^{2} }$+...+$\frac{1}{2 ^{100} }$ mai mic decat 2      (face parte din progrresii, va rog ajutor )

Answer 1

Observam ca este o progresie geometrica cu primul termen b1 = 1 si ratia q = $\frac{1}{2}$
 Mai intai aflam cati termen sunt in acea suma. Dupa puterile lui 2 putem observa ca sunt 101 de termeni, deci trebuie sa calculam suma primelor 101 de termeni.

   $S_{n} = b_{1} \frac{q^{n}-1}{q-1} = 1* \frac{ \frac{1}{2^{n}}-1 }{ \frac{1}{2} -1} = - \frac{ \frac{1-2^{n}}{2^{n}} }{ \frac{1}{2} } =(dezetajam) - \frac{2-2^{n+1}}{2^{n}}=$ = $\frac{2^{n+1}-2}{2^{n}} = \frac{2^{n}-1}{2^{n-1}}$

Deci $S_{101} = \frac{2^{101}-1}{2^{100}}$ < 2 = $\frac{2^{101}}{2^{100}}$