Question

100 DE PUNCTE!!!! 1,c) VA ROG MULT

Answer 1

a) 

[tex]\it \Delta ANM \sim \Delta ABC\ (cazul\ UU) \Rightarrow \dfrac{AN}{AB} =\dfrac{AM}{AC} \Rightarrow \dfrac{AN}{9} =\dfrac{4}{12} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow AN = \dfrac{9\cdot4}{12} = \dfrac{36}{12} = 3\ cm[/tex]

b)

[tex]\it \mathcal{A}_{BCNM} = \mathcal{A}_{ABC} - \mathcal{A}_{ANM} =\dfrac{AB\cdot AC}{2} -\dfrac{AN\cdot AM}{2} = \\ \\ \\ = \dfrac{9\cdot12}{2}-\dfrac{3\cdot4}{2}= 54-6=48\ cm^2[/tex]

c)

În triunghiul dreptunghic AMN, mediana AP are lungimea egală cu

jumătate din lungimea ipotenuzei MN. 

AP = MP ⇒ ΔPAM - isoscel,  m(∡PAM) = m(∡AMN)     (1)

Dar, se știe că  m(∡AMN)  = m(∡BCA)      (2) 

(1), (2) ⇒ m(∡PAM)  = m(∡BCA)       

Fie AP ∩ BC = {D} și în triunghiul ABD avem:


m(∡DAB)  + m(∡ABD) = m(∡BCA)  + m(∡ABC)   = 90°

 (suma măsurilor unghiurilor ascuțite ale triunghiului dreptunghic ABC).

Rezultă că m(∡BDA)  = 90° ⇒ AD ⊥ BC ⇒ AP⊥ BC.