Question

1² +2²2 + 3² + ... +n2= n(n+1)/(2n+1),n>1
6

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Demonstrație prin inducție matematică:

1. Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată:

$P(1): \ {1}^{2} = \dfrac{1 \cdot (1 + 1) \cdot (2 \cdot 1 + 1)}{6} \\ 1 = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} \iff 1 = 1 \implies P(1) \ (A)$

2. Etapa de demonstrație: se presupune că propoziţia P(k) este adevărată:

$P(k) : \ {1}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2} + ... + {k}^{2} = \dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$

și se demonstrează că propoziția P(k + 1) este adevărată:

$P(k+1) : \ \underbrace{{1}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2} + ... + {k}^{2}}_{P(k)} + {(k + 1)}^{2}$

$= \dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + {(k + 1)}^{2}$

$= \dfrac{k(k + 1)(2k + 1) + 6{(k + 1)}^{2}}{6}$

$= \dfrac{(k + 1) [k(2k + 1) + 6(k + 1)] }{6}$

$= \dfrac{(k + 1) (2 {k}^{2} + 7k + 6) }{6}$

$= \dfrac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}$

$= \dfrac{(k + 1) [(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1]}{6}$

P(k + 1) este adevărată => P(n) este adevărată ∀n ∈ ℕ*