Question

12. a) Arătaţi că numărul natural a = 5. 3^42 +9^20 – 10 · 3^40 este pătrat perfect.
b) Demonstrați că numărul natural b = 3^42 +2^43 nu este pătrat perfect.​

Answer 1

$a =5\cdot 3^{42}+9^{20}-10\cdot 3^{40}\\ a = 5\cdot 3^{42}+3^{40}-10\cdot 3^{40}\\ a = 3^{40}\cdot (5\cdot 3^2+1-10)\\ a = 3^{40}\cdot (45-9)\\ a = 3^{40}\cdot 36\\a= 3^{40}\cdot 6^2\\ a = (3^{20}\cdot 6)^2\quad \checkmark$

$b = 3^{42}+2^{43}\\ U(b) = U(9^{21}+2^{42}\cdot 2)\\ U(b) = U(9^{20}\cdot 9+4^{21}\cdot 2)\\ U(b) = U(81^{10}\cdot 9+16^{10}\cdot 4\cdot 2)\\ U(b) = U(1\cdot 9+6\cdot 4\cdot 2)\\ U(b) = U(57)\\ U(b) = 7\quad \checkmark\\ \\\text{Niciun patrat perfect nu se termina in 7.}$