12. Un trapez isoscel are diagonalele perpendiculare, iar bazele au lungimile a şi b.
a) Calculați înălțimea
trapezului;
b) Demonstrați că mijloacele laturilor trapezului sunt vârfurile unui pătrat.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
ABCD trapez isoscel, AD=BC, AC⊥BD, ΔABD≡ΔBAC după crit, LUL, deci AC=BD. AB=a, CD=b. Trasăm CE⊥AB, deci CE este înălțimea trapezului ABCD. Trasăm DM⊥AB, deci CDME dreptunghi, ⇒CD=EM=b.
Trasăm CF║BD, F∈(AB), ⇒BDCF paralelogram, ⇒BF=CD=b.
Atunci, AF=AB+BF=a+b.
ΔACF este dreptunghic în C, AC⊥CF, AC=CF, deci ΔACF isoscel cu ipotenuza AF și înălțimea CE pe ipotenuză. Atunci AE=FE, deoarece CE este și mediană. Atunci, AE=EF=AF/2=(a+b)/2. Din T.Î. ⇒CE²=AE·FE=[(a+b)/2]·[(a+b)/2]=(a+b)²/4. Atunci CE=(a+b)/2.
b) Fie N,P,Q,R mijloacele laturilor trapezului. Atunci NP, PQ, QR, NR sunt linii mijlocii a triunghiurilor. ⇒NP║BD║QR, deci NP║QR. La fel, PQ║NR.
Deci, NPQR este paralelogram. Deoarece AC=BD, ⇒NPQR este romb. Deoarece AC⊥BD, ⇒ NP⊥PQ, deci NPQR este pătrat.
