Question

•) 1³ +3³ +5³ +...+ (2n-1)³ = n² (2n² − 1);va rog imi poate explica cineva cum se rezolva.prin inductie matematica.Multumesc.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Explicație pas cu pas:

Demonstrație prin inducție matematică:

1. Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată:

$P(1) : 1^{3} = 1^{2}(2 \cdot 1^{2} - 1) \iff 1 = 1 \cdot 1 \\ \iff 1 = 1 \ \ (A) \implies P(1) \ (A)$

2. Etapa de demonstrație: se presupune că propoziţia P(n) este adevărată:

$P(n) \ (A) : \ 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + ... + (2n - 1)^{3} = n^{2} \cdot (2n^{2} - 1)$

şi se demonstrează că P(n+1) este adevărată:

$P(n+1) : \ \underbrace{1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + ... + (2n - 1)^{3}}_{P(n)} + [(2(n+1) - 1)]^{3} =$

$= n^{2} \cdot (2n^{2} - 1) + [(2n + 2 - 1)]^{3}$

$= 2n^{4} - n^{2} + (2n + 1)^{3}$

$= 2n^{4} - n^{2} + 8 {n}^{3} + 12n^{2} + 6n + 1$

$= 2n^{4} + 8 {n}^{3} + 12n^{2} + 8n - 2 - n^{2} - 2n - 1$

$= 2(n^{4} + 4 {n}^{3} + 6n^{2} + 4n - 1) - (n^{2} + 2n + 1)$

$= 2(n + 1)^{4} - (n + 1)^{2}$

$= (n + 1)^{2} \cdot [2(n + 1)^{2} - 1] \implies P(n + 1) \ (A)$

q.e.d.