Question

13 Fie ABCD un tetraedru regulat cu muchia de 6 cm, în care notăm cu M mijlocul muchiei CD. Calculaţi:
a) lungimea proiecţiei segmentului AB pe planul (BCD);
b) lungimea proiecţiei segmentului AD pe planul (ABM).

VA ROG MULT DE TOT!!!!​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a) Lungimea proiecției segmentului AB pe planul (BCD) se poate calcula utilizând conceptul de proiecție în geometrie:

Presupunem că segmentul AB intersectează planul (BCD) în punctul E. Atunci, lungimea proiecției segmentului AB pe planul (BCD) este lungimea segmentului AE.

Pentru a calcula lungimea segmentului AE, putem folosi proprietatea unui tetraedru regulat: toate unghiurile din vârful unui tetraedru regulat sunt de 60 de grade.

Din acest fapt rezultă că unghiul A este de 90 de grade, iar unghiul AEB este de 30 de grade. Astfel, putem folosi relația cosenului:

AE = AB * cos 30 = 6 * cos 30 = 3 * √3

Lungimea proiecției segmentului AB pe planul (BCD) este, deci, egală cu 3 * √3 cm.

b) Lungimea proiecției segmentului AD pe planul (ABM) se poate calcula în mod similar. De data aceasta, presupunem că segmentul AD intersectează planul (ABM) în punctul F. Atunci, lungimea proiecției segmentului AD pe planul (ABM) este lungimea segmentului AF.

Din nou, putem folosi proprietatea unui tetraedru regulat: unghiurile din vârful unui tetraedru regulat sunt de 60 de grade. Astfel, unghiul FDM este de 30 de grade, iar putem folosi relația cosenului:

AF = AD * cos 30 = 6 * cos 30 = 3 * √3

Lungimea proiecției segmentului AD pe planul (ABM) este, deci, egală cu 3 * √3 cm.