Question

132,133,134.. va rog urgent

Answer 1

132.

Trebuie sa observi ca acolo 2 numere interesante. 1995 si 1992

$1995^2$ -trebuie sa observi ca 5*5=25

$1992^2$ -trebuie sa observi ca 2*2=4

Cum numarul A este format din produs din toate acele numere, si 25 se va inmulti cu 4 la un moment dat, si va da 100.

Acest 100 inmultit cu orice numar de acolo, mereu va da un numar ce se va termina cu 00.

Asdar, ultimele doua cifre ale lui A sunt 00.

133.

$n=7^{77}-7^{76}+7^{75}-7^{74}=7^{76}*(7-1)+7^{74}*(7-1)=7^{76}*6+7^{74}*6=7^{74}*6*(7^2+1)=7^{74}*6*50=7^{74}*3*100$

Pentru ca:

$u(7^1)=7$ -pentru restul 1

$u(7^2)=9$ -pentru restul 2

$u(7^3)=3$ -pentru restul 3

$u(7^4)=1$ -pentru restul 0

$u(7^5)=7$

Vom imparti 74 la 4 pentru a vedea care este ultima cifra a numarului 7 la puterea 74.

74:4=18 rest 2

$u(7^{74})=9$

$u(7^{74}*3)=7$

Asadar, numarul nostru n are ultimele 3 cifre 700, deoarece ultima cifra 7 inmultita cu 100 (zerourile mereu se duc ultimele) va da 700 ca ultime trei cifre.

134.

Nu imi vine momentan prin minte decat sa incerci brut. Adica sa iei fiecare valoare a lui m de la 3 in sus si sa vezi cat da n-ul, pana cand nu se mai poate. Revin cu un raspuns daca il gasesc.

Am gasit raspunsul!

$2^{m-3}+3^n+6=250$

$2^{m-3}+3^n=244$

$3^n=244-2^{m-3}$

$3^n=4*(61-2^{m-5})$ cu conditia ca m≥5

Din ultima ecuatie putem spune ca de la m≥5 nu mai exista solutii viabile pentru n. De ce? Uita-te la membrul din dreapta egalului. Este un numar 4 ori ceva. Niciun numar inmultit cu 4 nu va da o putere de 3. Asadar nu mai avem solutii mai sus de m=5.

Dar inca trebuie sa vedem pentru m=3 si m=4 (pentru ca sunt valori date inca de exercitiu pentru care nu ne-am exprimat inca un rezultat)

$m=3$ ⇒ $1+3^n=244$ ⇒ $3^n=243$ ⇒ $n=5$

$m=4$ ⇒ $2+3^n=244$ ⇒ $3^n=242$ 242 este divizibil cu 2, deci nu va putea fi o putere de 3

Ca atare, singura solutie pentru aceasta problema este n=5.