Question

14 Fie a, b, c, n e N si A -(a^n + b^n)(c^n + b^n)(a^n + c). Arată că:
a) A divizibil cu 2

​

Answer 1

Răspuns:

Produsul (aⁿ+bⁿ)(cⁿ+bⁿ)(aⁿ+cⁿ) este întotdeauna par, adică divizibil cu 2.

Explicație pas cu pas:

Avem un produs format din 3 factori. Pentru ca acest produs să fie divizibil cu 2, trebuie ca cel puțin unul dintre cei 3 factori să fie par.

Ne ajută următoarele reguli de calcul:

a) un număr par ridicat la orice putere este număr par

b) un număr impar ridicat la orice putere este număr impar

c) suma a două numere pare este un număr par

d) suma a două numere impare este un număr par

Sunt 4 cazuri:

1. Numerele a,b,c sunt toate impare.

  În acest caz, toți factorii sunt pari, pentru că aⁿ = impar, bⁿ = impar și cⁿ = impar, iar sumele lor (conform punctului d de mai sus) sunt numere pare.

Factorii fiind pari, produsul lor este par, adică divizibil cu 2

2. Un număr este par, iar celelalte două sunt impare.

   În acest caz, factorul care implică cele două numere impare este par.

 Ca exemplificare, să presupunem că a este par, iar b și c sunt impare. Factorul (bⁿ+cⁿ) este par (conform punctelor b și d de mai sus), iar asta înseamnă că produsul este par, deci divizibil cu 2

3. Două numere sunt pare, iar celălalt este impar.

  În acest caz, factorul care implică cele două numere pare va fi par.

 Ca exemplificare, să presupunem că a este impar, iar b și c sunt pare.

 Factorul (bⁿ+cⁿ) este par (conform punctelor a și c de mai sus), iar asta înseamnă că produsul este par, deci divizibil cu 2.

4. Toate numerele sunt pare.

În acest caz, toți factorii sunt numere pare, și deci produsul este par, adică divizibil cu 2.

Answer 2

O sa transform problema intr-o problema de paritate.  A=(aⁿ+bⁿ)(cⁿ+bⁿ)(aⁿ+cⁿ)

In cadrul rezolvarii acestui exercitiu, se vor lua la cunostinta urmatoarele legi ale paritatii care sunt GENERAL VALABILE si pot fi aplicate oricand, fara demonstratie:

1) par+par=par

2)par+impar=impar

3)impar+impar=par

4)par*par=par

5)par*impar=par

6)impar*impar=impar

7) Paritatea numarului n nu influenteaza paritatea puterilor

Cazul I: toate impare

=> A=(impar+impar)(impar+impar)(impar+impar)=par*par*par=par

Cazul II: 2 impare si 1 par

=> A=(impar+impar)(impar+par)(impar+par)=par*impar*impar=par*impar=par

Cazul III: 1 impar si 2 pare

=> A=(impar+par)(impar+par)(par+par)=impar*impar*par=impar*par=par

Cazul IV: toate pare

=> A=(par+par)(par+par)(par+par)=par*par*par=par

Poti observa ca nu am specificat care numere sunt luate impare si care sunt luate pare. Asta deoarece, indiferent de care le-am lua, acestea vor avea acelasi rezultat, adica par.

Observam ca in toate cele 4 cazuri posibile, A este par.

Criteriul de divizibilitate cu 2 spune ca un numar este divizibil cu 2 <=> ultima sa cifra apartine multimii {0; 2; 4; 6; 8}. In alte cuvinte, daca acesta este par.

A-par => A divizibil cu 2.