Question

142. Se prelungesc laturile unui pătrat în acelaşi sens cu segmente de lungimi egale si se unesc punctele obţinute; apoi se construiesc pe laturile patrulaterului triunghiurk echilaterale. Să se arate că unind virfurile triunghiurilor echilaterale se obţine un nou pătrat. ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

ABCD pătrat

Se prelungesc laturile în acelaşi sens cu segmente congruente:

AB ≡ BM, BC ≡ CN, CD ≡ DP, AD ≡ AQ

=> AM ≡ BN ≡ CP ≡ DQ

ΔQDP ≡ ΔMAQ ≡ ΔNBM ≡ ΔPCN (cazul C.C.)

=> QP ≡ PN ≡ NM ≡ MQ

∢DQP + ∢DPQ = 90°

∢DPQ ≡ ∢AQM => ∢DQP + ∢AQM = 90°

(idem și pentru celelalte)

=> MNPQ este pătrat

Se construiesc pe laturile patrulaterului format triunghiuri echilaterale:

ΔMNR ≡ ΔNPS ≡ ΔPQT ≡ ΔQMV

∢TQV = ∢VMR = ∢RNS = ∢SPT = 360° - (60° + 60° + 90°) = 150°

=> ΔTQV ≡ ΔVMR ≡ ΔRNS ≡ ΔSPT (cazul L.U.L.)

sunt triunghiuri isoscele

=> ∢QTV = ∢QVT = 15°

=> ∢TVR = 15° + 60° + 15° = 90°

=> QPNM este pătrat

q.e.d.