Question

15. Să se arate că următoarele funcții sunt nemărginite și să se precizeze câte o restrictie a acestora care să fie mărginită.
a) f:(0, +infinit)→R, f(x) = 3x +1;
b) f:(1, +infinit)→R, f(x) =$\frac{1}{x - 1}$

c) f:N →N*, f(n) = c.m.m.m.c.(n, 2007).​

Answer 1

Răspuns:

a)

Metoda I

f:[0; ∞) →R, f(x)= 3x+1, este mărginită la stânga de  1 , deoarece x ≥ 0 , înmulțim cu 3 ⇒ 3x ≥ 0, adunăm în ambii membri 1 ⇒  f(x)=3x+1 ≥ 1. Dar în dreapta nu e mărginită, demonstram prin reducere la absurd: presupunem ca e mărginită de un număr  "n" , adică nu putem găsi nici un număr x astfel că f(x)>n, cu alte cuvinte ar trebui să avem întotdeauna   f(x)<n ori cat  ar fi x ,dar  să vedem daca  avem întotdeauna;

3x + 1< n ⇒ 3x < n - 1 împărțim cu 3 ⇒ x < n/3 - 1/3, deci presupunerea

că f(x) <n este falsă, pentru că x poate lua ori ce valoare, și f nu va mai fi mai mic ca n.

Metoda II

Pp RA f este mărginită deci exista M>0 astfel încat f(x)<M, pentru orice x din R

3x-1<M

3x<M+1

x<(M+1)/3, pentru orice x din R

Dar, cum (M+1)/3+1 este tot un număr real, ar rezulta ca  

(M+1)/3+1<(M+1)/3 , ceea ce este o contradicție, care provine din presupunerea ca funcția este mărginită.

Analog se face și subpunctul b) și c)

==lucianglont666==

Mult succes!