Question

15. Suma a 100 de numere este 100. Aceste numere sunt invers proporționale cu numerele 2; 6; 12; 20; …; 10100. Dintre termenii sumei, cei care reprezintă fracţii subunitare sunt în număr de: *
5 puncte

Answer 1

$a_{1} + a_{2} + a_{3} +....+ a_{100} = 100\\a_{1}*2= a_{2}*6 = a_{3}*12=....= a_{100}*10100 = k\\a_{1} = \frac{k}{2} \\a_{2} = \frac{k}{6} = \frac{k}{2*3}\\...\\a_{100} = \frac{k}{100*101}$

$\frac{k}{1*2} + \frac{k}{2*3} + \frac{k}{3*4} + ... + \frac{k}{100*101} = 100$

$k*(\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} +\frac{1}{3} - \frac{1}{4} ... + \frac{1}{100} - \frac{1}{101}) = 100$

Se reduc mare parte din termeni.

Se aduc la acelasi numitor fractiile care raman din paranteza.

$k*\frac{100}{101} = 100\\k = 101$

$a_{1} = \frac{101}{1*2} \\\\a_{2} = \frac{101}{2*3}\\...\\a_{9} = \frac{101}{9*10}$

Primii noua termeni sunt fractii supraunitare.

100-9 = 91 termeni sunt fractii subunitare

Fractia subunitara este $\frac{a}{b}$ , atunci când a < b

Raspuns 91 termeni