Question

19) In figura alaturate este desenat triunghiul ABC cu AB=AC=25cm si Bc= 40cm . Cercul de diametru AD , unde D este proiectia punctului A pe BC interesecteară laturile AB si AC în punctele M respectiv N.
A) Arată că AM=AN
B) calculară lungimea segmentului min punctele MN​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a)

Notam cu O mijlocul lui AD

AD = diametru ⇒ O =  centrul cercului

⇒OA ≡ OM ≡ ON

⇒ΔMAO si ΔNAO = isoscele ⇒ ∡AMO ≡ ∡MAO  si ∡ANO ≡ ∡NAO (1)

AB ≡ AC ⇒ΔABC = isoscel ; AD⊥BC ⇒AD = bisectoare si mediana in ΔABC

⇒∡BAD ≡ ∡CAD ⇔ ∡MAO ≡ ∡NAO (2)

din (1) si (2) ⇒∡AMO ≡ ∡MAO ≡ ∡NAO ≡ ∡ANO

m(∡AOM) = 180° - [m(∡AMO) + m(∡MAO)]=180° - [m(∡ANO) + m(∡NAO)] = m(∡AON)

⇒∡AOM ≡ ∡AOM  

       OM ≡ ON

        AO = latura comuna

        ⇒ΔAOM ≡ ΔAON

⇒ AM ≡ AN

b) in ΔABC  AD este bisectoare, inaltime si mediana ⇒ DB ≡ DC ⇒ DC = BC=2 = 40/2 = 20cm

AD = diametru

⇒ ΔADN este dreptunghic

   ΔADC este dreptunghic

  ∡DAC ≡ ∡NAD

         ⇒ ΔADN ≈ ΔADC ⇒ AD/AC = AN/AD ⇒ AN = AD²/AC

In ΔADC aplicam T, Pitagora : AD² + DC² = AC²

⇒AD² = AC² - DC² = 25² - 20² = 625 - 400 = 225

Deci  AN = AD²/AC = 225/25 = 9 cm

AM ≡ AN ⇒ ΔAMN este isoscel

                   ΔABC este isoscel

                    ∡MAN ≡ ∡BAC

                                    ⇒ ΔAMN ≈ ΔABC ⇒ MN/BC = AN/AC

⇒ MN =AN ·BC/AC = 9·40/25 = 360/25 = 14,4 cm