Question

19. Pe mulţimea R se definește legea de compoziţie x * y = x + y + xy, oricare ar fi x,ye R. a) Arătaţi că legea ,,*" este asociativă. b) Fie funcţia f: R → R, ƒ (x) = x + 1. Verificaţi egalitatea f (x * y) =f(x) · ƒ (v). 1 1 1 c) Calculaţi 1*-*-*...*. 2 3 1001​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$x * y = x + y + xy$

a)

$x*(y*z) = x + (y*z) + x(y*z) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz = x + y + z + xy + yz + xz + xyz$

$(x*y)*z = (x*y) + z + (x*y)z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz = x + y + z + xy + yz + xz + xyz$

$= > (x*y)*z = x*(y*z)$

=> legea * este asociativă

b)

$f(x) = x + 1$

$f(x * y) = (x * y) + 1 \\ = x + y + xy + 1 = x(y + 1) + (y + 1) \\ = (x + 1)(y + 1) = f(x) \times f(y)$

$= > f(x * y) = f(x) \times f(y)$

c)

$S_{1001} = 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3} *...* \frac{1}{1000} * \frac{1}{1001}$

legea * este asociativă

observăm că:

$S_{2} =1* \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 1 = 2$

$S_{3} =1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3} = \left(1 * \frac{1}{2} \right) * \frac{1}{3} \\ = S_{2} * \frac{1}{3} = 2 * \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 2 + 1 = 3$

$S_{4} = 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3}* \frac{1}{4} = \left(1 * \frac{1}{2}* \frac{1}{3} \right) * \frac{1}{4} \\ = S_{3} * \frac{1}{4} = 3* \frac{1}{4} = 3 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 3 + 1 = 4$

presupunem că este adevărat pentru k:

$S_{k} =1* \frac{1}{2} * \frac{1}{3} *...* \frac{1}{k - 1} * \frac{1}{k} = k$

și demonstrăm pentru k + 1:

$S_{k + 1} = 1* \frac{1}{2} * \frac{1}{3} *...* \frac{1}{k} * \frac{1}{k + 1} \\ = \left(1* \frac{1}{2} * \frac{1}{3} *...* \frac{1}{k} \right) * \frac{1}{k + 1}= \\ = k * \frac{1}{k + 1} = \\ = k + \frac{1}{k + 1} + \frac{k}{k + 1} = k + 1$

=>

$S_{1001} = 1* \frac{1}{2} * \frac{1}{3} *...* \frac{1}{1000} * \frac{1}{1001} = \\ = 1001$