Question

19. Se considera numerele a=V2+V8+V18+…+V2x99^2 si b=V968. Aratati ca numarul axb^-1 este patrat perfect.

V=radical
^=la puterea
la V2x99^2, totul e sub radical

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Aducem numărul a la o formă mai simplă:

$a = \sqrt{2} +\sqrt{2*2^{2} } +\sqrt{2*3^{2} }+...+\sqrt{2*99^{2} }$

$a = \sqrt{2} +\sqrt{2}*\sqrt{2^{2} } +\sqrt{2}*\sqrt{3^{2} }+...+\sqrt{2}*\sqrt{99^{2} }$

$a=\sqrt{2} + 2*\sqrt{2} +3*\sqrt{2} +...+99*\sqrt{2}$

$a=\sqrt{2} (1+2+3+...+99)$

$a=\sqrt{2} *\frac{99*100}{2} =99*50*\sqrt{2}$

Aducem numărul b la o formă mai simplă:

968 = 2³ · 11²

b = √968 = 2 · 11 · √2

Calculăm a * b⁻¹ :

$\displaystyle a*b^{-1} =\frac{a}{b} =\frac{99*50*\sqrt{2} }{2*11*\sqrt{2} } =9*25 = (3*5)^{2}$

⇒ a * b⁻¹ este pătrat perfect = 15²