Question

2^0+2^1+^2+2^3+ .............+2^143-este divizibil cu 7
Va rog repede!!!

Answer 1

Salut,

Suma din enunț se poate scrie așa:

S = 2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2¹⁴³

Dacă scriem puterile lui 2, de la 0, 1, 2, ..., 143, observăm că suma S are 143 + 1 = 144 termeni (l-am numărat și pe 0).

144 are suma cifrelor 9 deci 144 este multiplu de 3: 144 = 3*48.

Asta înseamnă că suma din enunț poate fi împărțită în 48 de grupuri, fiecare grup are câte 3 elemente.

Scriem suma așa:

S = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + ... + 2¹⁴¹ + 2¹⁴² + 2¹⁴³ =

= 1 + 2¹ + 2² + 2³·(1 + 2¹ + 2²) + 2⁶·(1 + 2¹ + 2²) + ... + 2¹⁴¹·(1 + 2¹ + 2²) =

= (1 + 2¹ + 2²)(1 + 2³ + 2⁶ + ... + 2¹⁴¹) = (1 + 2 + 4)(1 + 2³ + 2⁶ + ... + 2¹⁴¹) =

= 7·(1 + 2³ + 2⁶ + ... + 2¹⁴¹) = M7, adică suma din enunț este multiplu de 7.

Asta înseamnă că suma din enunț este divizibilă cu 7, ceea ce trebuia demonstrat.

Green eyes.