Question

2 Aflati masurile unghiurilor triunghiului ABC , daca [AM] este mediana AM=6cm si BC=12 cm si masura unghiului B=5•masura unghiului C

Answer 1

Daca AM=6cm si baza BC=2xAM=> se respecta teorema reciproca a medianei =>ΔABC este dreptunghic in A
Stim ca m(∡B)=5·m(∡C)
=>90+5C+C=180
6C=90 =>m(∡C)=15° =>m(∡B)=75°

Answer 2

M este mijlocul lui BC, atunci obtinem relatiile
$BM=CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}*12=6$
Dar observam si ca AM=6. Avem atunci:
1) AM=BM=6, adica triunghiul ABM este isoscel, cu unghiurile opuse laturilor congruente la randul lor congruente
$\angle{BAM}=\angle{ABM}=\angle{ABC}$
2_ AM=CM=6 adica triunghiul ACM este isoscel, cu unghiurile opuse laturilor congruente la randul lor congruente
$\angle{CAM}=\angle{ACM}=\angle{ACB}$
Mai observam ca suma unghiurilor BAM si CAM formeaza unghiul BAC
$\angle{BAC}=\angle{BAM}+\angle{CAM}=\angle{ABC}+\angle{ACB}$
Atunci avem suma unghiurilor din triunghi
$\angle{BAC}+\angle{ABC}+\angle{ACB}=180\Rightarrow \angle{BAC}+\angle{BAC}=180\Rightarrow 2\angle{BAC}=180\Rightarrow \angle{BAC}=90$
Avem si relatia dintre celelalte 2 unghiuri pe care o putem folosi
$\angle{ABC}=5\angle{ACB}$
Atunci
$\angle{BAC}=\angle{ABC}+\angle{ACB}=5\angle{ACB}+\angle{ACB}=6\angle{ACB}=90\Rightarrow \angle{ACB}=\frac{90}{6}=15$
Deci ajungem la relatia
$\angle{ABC}=5\angle{ACB5*15=75$