Question

Va rog ex 21,22,urgent!Dau coroana, multumesc! 

Answer 1

 a)  1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6 = 1/(2·3)  1/3 - 1/4 = 4/12 - 3/12 = 1/12 = 1/(3·4)
b) primul termen trebuie sa fie 1/(1·2)
  1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 +.......+ 1/2011 - 1/2012 =
1/1 - 1/2012 =2012/2012 - 1/2012 = 2011/2012
22.  3/4 < 1/2 + 1/3 + 1/4 < 3/2
1/2 > 1/4  1/3 > 1/4 ⇒  1/2 + 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 + 1/4
1/2 + 1/3 + 1/4 > 3/4 
1/4 < 1/2    1/3 < 1/2 ⇒ 1/2 + 1/3 + 1/4 < 1/2 + 1/2 + 1/2
1/2 + 1/3 + 1/4 < 3/2 
1/10 < 1/90 + 1/91 +.......+ 1/99 < 1/9
1/90 > 1/100  1/91>1/100 ..... 1/98 > 1/100    1/99 >100 ⇒
⇒ 1/90 + 1/91 +....+ 1/99 > 10·1/100
1/90 + 1/91 + .......+ 1/99 > 1/10 
1/91 < 1/90    1/92<1/90 ..... 1/99 < 1/90 ⇒ 1/90 + 1/91 +...+ 1/99 < 10·1/90
1/90 + 1/91 +......+ 1/99 < 1/9 
1/3 ·1/3  < 1/2 ·1/3       ( 1/3 < 1/2)
1/2 ·1/3 < 1/2 ·1/2       (1/3 < 1/2) ⇒
⇒1/(3·3) < 1/(2·3) < 1/(2·2)   
d) S = 1/3² + 1/4² + ......+ 1/201²  <1/2
1/(3·3) < 1/2 ·1/3    1/(4·4) < 1/3 ·1/4    ..... 1/(201·201) < 1/200 ·1/201
S < 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 +.......+ 1/200 - 1/201
S < 1/2 - 1/201   S < 1/2 
e)  S = 1/2² + 1/4² + 1/6² +........+1/2006² < 2005/4012
S = 1/2² ( 1 + 1/2² + 1/3² + .........+ 1/1003²)
S  < 1/4 ( 1 + 1/1·1/2 + 1/2·1/3 + 1/3 ·1/4 +......+ 1/1002 ·1/1003)
S < 1/4 ( 1 + 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 +.....+ 1/1002 - 1/1003)
S < 1/4(2 - 1/1003)    S < 1/4 ·2005/1003  S < 2005/4012