Question

2. Determină numărul abcd, ştiind că abcd + abc + ab + a=4682.​

Answer 1

abcd+abc+ab+a

= 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a

= 1000a+100a+10a+a+100b+10b+b+10c+c+d

= 1111a+111b+11c+d=4682

b,c si d sunt cifre ce pot lua valori de la 0 la 9, cu exceptia lui a, care ia de la 1 la 9 fiind prima cifra din numar.

Luam fiecare caz în parte, de la a la d:

I.

1111a+111b+11c+d=4682

a=1 => 111b+11c+d<3571 (4682-1111) => a≠1

a=2 => 111b+11c+d<2460 (4682-2222) => a≠2

a=3 => 111b+11c+d<1349 (4682-3333) => a≠3

a=4 => 111b+11c+d=238 (4682-4444) => a=4 (A)

a=5 => 111b+11c+d>-877 (4682-5555) => a≠5,6,7,8,9

Maximul lui b,c si d este 9, iar 111×9=999, 11×9=99 si 1×9=9, excludem a=1,2,3 deoarece 999+99+9=1107<{3569,2458,1347}. Dar si 1107>-875, si pentru ca o cifra nu poate fi negativa, excludem variantele a=1,2,3,5,6,7,8,9.

II.

111b+11c+d=238

b=0 => 11c+d<238 => b≠0

b=1 => 11c+d<127 (238-111) => b≠1

b=2 => 11c+d=16 (238-222) => b=2 (A)

b=3 => 11c+d>-95 (238-333) => b≠3,4,5,6,7,8,9

Maximum lui c si d este 9, iar 11×9+1×9=99+9, excludem b=1 deoarece 108<127 si 108>-95, deci excludem variantele b=1,3,4,5,6,7,8,9.

III.

11c+d=16

c=0 => d=16 dar d≤9 => c≠0

c=1 => d=5 (16-11) (A)

c=2 => d>-6 (16-22) => c≠2,3,4,5,6,7,8,9

Maximul lui d este 9, iar 1×9=9>-6, deci excludem variantele c=2,3,4,5,6,7,8,9. Dar si varianta c=0, deoarece d nu poate avea doua cifre. Si deasemenea, introducem d=5 ca soluție

Avand: a=4, b=2, c=1 si d=5, abcd=4215

Proba: abcd+abc+ab+a=4215+421+42+4=4636+46=4682