Question

2. Determina ultima cifra a numărului:
a) 7^2003+8^2007+9^2011=
b)72^2003+63^2003+54^2003+37^2003=
c)123^2017+345^2017+678^2017=
d)12345^2017•999^2017•654^2017=
VA ROG URGENT !!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

▪︎ Numerele naturale care au ultima cifră 0, 1, 5 sau 6 ridicate la orice putere n, n ∈ N*, au ultima cifră tot 0, 1, 5 respectiv 6

▪︎ Ultimele cifre ale puterilor lui 4 și 9 se repetă din doi în doi, în funcție de resturile împărțirii exponentului puterii la 2

▪︎ Ultimele cifre ale puterilor lui 2, 3, 7 și 8 se repetă din patru în patru, în funcție de resturile împărțirii exponentului puterii la 4

a)

u(7²⁰⁰³) = u(7²⁰⁰⁰•7³) = u((7⁴)⁵⁰⁰•7³) = u(7³) = u(343) = 3

u(8²⁰⁰⁷) = u(8²⁰⁰⁴•8³) = u((8⁴)⁵⁰¹•8³ = u(8³) = u(512) = 2

u(9²⁰¹¹) = u(9²⁰¹⁰•9¹) = u((9²)¹⁰⁰⁵•9) = u(9) = 9

=> u(7²⁰⁰³+8²⁰⁰⁷+9²⁰¹¹) = u(3+2+9) = u(14) = 4

b)

▪︎ Ultima cifră a unei sume de numere naturale este egală cu ultima cifră a sumei ultimelor cifre ale termenilor sumei:

u(72²⁰⁰³) = u(2²⁰⁰³) = u(2²⁰⁰⁰•2³) = u((2⁴)⁵⁰⁰•2³) = u(2³) = u(8) = 8

u(63²⁰⁰³) = u(3²⁰⁰³) = u(3²⁰⁰⁰•3³) = u((3⁴)⁵⁰⁰•3³) = u(3³) = u(27) = 7

=> u(54²⁰⁰³) = u(4²⁰⁰³) = u(4²⁰⁰²•4¹) = u((4²)¹⁰⁰¹•4) = u(4) = 4

u(37²⁰⁰³) = u(7²⁰⁰³) = u(7²⁰⁰⁰•7³) = u((7⁴)⁵⁰⁰•7³) = u(7³) = u(343) = 3

=> u(72²⁰⁰³+63²⁰⁰³+54²⁰⁰³+37²⁰⁰³) = u(8+7+4+3) = u(22) = 2

c)

u(123²⁰¹⁷) = u(3²⁰¹⁷) = u(3²⁰¹⁶•3¹) = u((3⁴)⁵⁰⁴•3) = u(3) = 3

u(345²⁰¹⁷) = u(5²⁰¹⁷) = u(5) = 5

u(678²⁰¹⁷) = u(8²⁰¹⁷) = u(8²⁰¹⁶•8¹) = u((8⁴)⁵⁰⁴•8) = u(8) = 8

u(123²⁰¹⁷+345²⁰¹⁷+678²⁰¹⁷) = u(3+5+8) = u(16) = 6

d)

▪︎Ultima cifră a unui produs de numere naturale este egală cu ultima cifră a produsului ultimelor cifre ale factorilor produsului:

u(12345²⁰¹⁷) = u(5²⁰¹⁷) = u(5) = 5

u(999²⁰¹⁷) = u(9²⁰¹⁷) = u(9²⁰¹⁶•9¹) = u((9²)¹⁰⁰⁸•9) = u(9) = 9

u(654²⁰¹⁷) = u(4²⁰¹⁷) = u(4²⁰¹⁶•4¹) = u((4²)⁵⁰⁴•4) = u(4) = 4

=> 12345²⁰¹⁷•999²⁰¹⁷•654²⁰¹⁷ = u(5•9•4) = u(180) = 0

.