Question

2 Figura de mai jos reprezintă un trunchi de piramidă patrulateră regulată care provine dintr-o
piramidă cu fețele laterale triunghiuri echilaterale şi în care A' este mijlocul muchiei VA. Punc-
tele O și O' sunt centrele bazelor trunchiului de piramidă. Arătaţi că:
a VOperpendicularAB;
b VOperpendicularB'C';
c BDperpendicularCC';
d VAperpendicular (A'DB);
e VDperpendicularOD'.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

VA ≡ VC => ΔVAC este isoscel

AO ≡ OC => VO este mediană => VO este înălțime

VO⊥AC

idem VO⊥BD => VO⊥(ABCD)

AB ⊂ (ABCD) => VO⊥AB

b)

A', B', C' sunt mijloacele muchiilor VA, VB, VC => A'B' || AB și B'C' || BC (linii mijlocii) => (A'B'C') || (ABC)

VO⊥(ABC) => VO⊥(A'B'C')

B'C' ⊂ (A'B'C') => VO⊥B'C'

c)

VO⊥BD și OC⊥BD => BD⊥(VOC)

CC'⊂(VOC) => BD⊥CC'

d)

în ΔVAB echilateral: BA' este mediană și înălțime => BA'⊥VA

în ΔVAD echilateral: DA' este mediană și înălțime => DA'⊥VA

BA'⊂(A'DB), DA'⊂(A'DB) => VA⊥(A'DB)

e)

OD = ½×AB√2

OD' = DD' = ½×AB (mediană în ΔVOD dreptunghic)

OD² = OD'²+DD'² => ΔDD'O este dreptunghic => OD'⊥DD' => VD⊥OD'

$q.e.d.$

Answer 2

:

a) VOperpendicularAB

AB ll FG prin O

∆ VFG isoscel =>VO_l_FG

=>VO_l_AB care aparține planului ABCD

b) VOperpendicularB'C'

a fel HI ll B'C'

HI _l_VO =>VO_l_B'C'

c) BDperpendicularCC'

CC' ll OA' în ∆ VAC isoscel fiind linie mijlocie

și ∆ format A'DB isoscel A'O _l_ BD

=>BD _l_ CC'

d) VAperpendicular (A'DB)

(l√2/2)²-(l/2)²=(l/2)²

∆AA'O dreptunghic în A'

deci VA_l_∆A'DB

e) VDperpendicularOD'.

∆DD'O =∆AA'O

VD_l_OD'.