Question

2. Ortocentrul triunghiului. Demonstrați că în orice triunghi, înălțimile sunt concurente. 3. Dreapta lui Euler. Demonstrați că în orice triunghi, centrul de greutate, centrul cercului circumscris și ortocentrul sunt coliniare,
4. Cercul lui Euler. Demonstrați că în orice triunghi, mijloacele laturilor, picioarele inaltimilor și mijloacele segmentelor determinate de ortocentru și vârfuri sunt nouă puncte conciclice.
5. Inegalitatea lui Ptolemeu Într-un patrulater convex ABCD are loc relația 4C-BD ≤ 4B-CD + AD-BC.
6. Teorema lui Ptolemeu Patrulaterul convex ABCD este incriptibil dacă și numai dacă -IC-BD = AB·CD + AD-BC.​
pls dau 50 de puncte

Answer 1

Ortocentru se afla la intersectia inaltimilor

Fie MP ║ BC, A∈MP

MB∩PC={N}

ΔABC~ΔBAM~ΔCPA~ΔNCB

ΔABC≡ΔBAM (U.L.U)

∡BAC≡∡ABM

AB latura comuna

∡ABC≡∡ABM

Analog, ΔABC≡ΔBAM≡ΔCPA≡ΔNCB⇒ ΔMNP isoscel

AD inaltimea ΔABC, A este mijlocul lui MP ⇒AD mediatoarea lui MP

Analog, inaltimea din C a triunghiului ABC este mediatoarea lui PN (CN=CP)

si inaltimea din B a triunghiului ABC este mediatoarea lui MN (MB=BN)

Stim ca mediatoarele unui triunghi sunt concurente

Dar mediatoarele sunt si intaltimile triunghiului ABC⇒ inaltimile unui triunghi sunt concurente

Dreapta lui Euler si Cercul lui Euler

Fie ΔABC si H-ortocentru, G-centru de greutate, O-centrul cercului circumscris

Din egalitatea lui Leibniz avem:

$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}$

Dar $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}$ (relatia lui Sylvester)

Din cele doua egalitati avem $3\vec{OG}=\vec{OH}$⇒

$\vec{OG}\ si\ \vec{OH}\ sunt\ coliniari$⇒ O, G si H sunt coliniare

Inegalitatea lui Ptolemeu si teorema

Fie ΔADE~ΔABC ⇒

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC} =\frac{DE}{BC} \\\\ DE=\frac{AD\cdot BC}{AB} \ \ (1)$

si ΔEAC~ΔDAB⇒

$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{DB} \\\\ CE=\frac{AC\cdot DB}{AB}\ \ (2)$

Caz 1:

Daca E∉CD (ABCD nu este inscriptibil)

In ΔECD avem EC<CD+ED

Din 1 si 2 vom avea:

$\frac{AC\cdot DB}{AB} < CD+ \frac{AD\cdot BC}{AB}$

Aducem la acelasi numitor comun AB si il eliminam, obtinem:

AC·BD<AB·CD+AD·BC

Caz 2:

Daca E∈CD (ABCD este inscriptibil)

EC=ED+DC

Din 1 si 2 vom avea:

$\frac{AC\cdot DB}{AB} =CD+ \frac{AD\cdot BC}{AB}$

Aducem la acelasi numitor comun AB si il eliminam, obtinem:

AC·BD=AB·CD+AD·BC

Un exercitiu cu ortocentru gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2519520

#SPJ1