Question

2) sa se studieze convergenta sirului x1=1,
$xn + 1 = \sqrt{6 + xn}$
​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Răspuns:

Te gandesti asa. Daca sirul $x_n$ ar fi convergent si $\ell=\lim_n x_n$,

atunci trecand la limita in relatia de recurenta rezulta $\ell=\sqrt{\ell+6}$, deci $\ell^2-\ell-6=0$. Ecuatia are solutiile $\ell_1=-2,\ell_2=3$.

Dar $x_n>0$ pentru orice n, deci nu limita sirului, daca exista, ar trebui sa fie $\ell=3$.

Trebuie folosita teorema lui Weiestrass: adica aratat ca x_n este marginit si monoton. (atunci rezulta ca x_n e convergent)

Marginirea: Aratam ca $x_n\in [1,3]$ (1) pentru orice n>=1, prin inductie.

Pentru n=1, $x_1=1\in [1,3]$ este o afirmatie adevarata.

Presupunem ca $x_n\in [1,3]$. Atunci, din ipoteza de inductie, $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}\leq \sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$. Pe de alta parte, $\sqrt{6+x_n}\geq \sqrt{6+1}\geq 1$.

Monotonia: $x_{n+1}-x_n = \sqrt{x_n+6}-x_n = \frac{x_n+6-x_n^2}{\sqrt{x_n+6}+x_n}$. (2)

Ecuatia $-x^2+x+6=0$ are solutiile -2 si 3. Intre radacini,

$-x^2+x+6>=0$. Din (1) si (2) rezulta ca $x_n$ e crescator.