Question

2. Se consideră expresia E(x) =
$\frac{(x^{2} + 2x + 2)^{2} - 1}{(x^{2} + 2x)(x^{2} + 2x + 5) + 6 }$
a) Arată că (x² + 2x)(x² + 2x + 5) + 6 = (x² + 2x + 2)(x² + 2x + 3), pentru orice x e R.
b) Determină valoarea minimă a lui E(x),x € R.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

E(x) = [(x²+2x+2)²-1] / [(x²+2x)(x²+2x+5)+6]

a) (x²+2x)(x²+2x+5)+6 =  (x²+2x)²+5(x²+2x) +6  = a²+5a+6 =

= a²+2a+3a+6 = a(a+2) + 3(a+2) = (a+2)(a+3) =

= (x²+2x+2)(x²+2x+3) , oricare x ∈ R

b) E(x) =  [(x²+2x+2)²-1] / [(x²+2x+2)(x²+2x+3)] =

= [(x²+2x+2-1)(x²+2x+3)]/[(x²+2x+2)(x²+2x+3)] =

= (x²+2x+1)/(x²+2x+2) = (x+1)²/(x²+2x+2)

(x+1)² ≥ 0 , oricare x ∈ R ,

valoarea minima a acestuia este 0 , pentru x = -1

x²+2x+2 = (x+1)²+1 ≥ 1 =>

minima lui E(x) se afla pentru x = -1 si este 0

E(x) minim = 0