Question

2. Se consideră expresia E(x) = (-x + 5)² - (2-3x)(1-2x) - 5(2-x2+x)+x+2, unde x este număr real.
a) Fie a şi b două numere reale astfel încât a + b = 105. Arată ca
E(a)+E(b)=-200.
b) Calculează E(1)+E(2)+...+E(104)

Answer 1

Explicație pas cu pas:

enunț modificat

$E(x) = {(-x + 5)}^{2} - (2 - 3x)(1 - 2x) - 5(2 - x)(2 + x) + x + 2 =$

$= ({x}^{2} - 10x + 25) - (2 - 4x - 3x + 6 {x}^{2}) - 5(4 - {x}^{2}) + x + 2$

$= {x}^{2} - 10x + 25 - 2 + 7x - 6 {x}^{2} - 20 + 5 {x}^{2} + x + 2$

$= 6{x}^{2} - 6 {x}^{2} + 8x - 10x + 27 - 22$

$= -2x + 5$

a)

$E(a) + E(b) = -2a + 5 - 2b + 5 =$

$= -2(a + b) + 10 = -2 \cdot 105 + 10$

$= -210 + 10 = \bf - 200$

b)

$E(1) + E(2) + ... + E(104) =$

$= (- 2 \cdot 1 + 5) + (- 2 \cdot 2 + 5) + ... + (- 2 \cdot 104 + 5)$

$= - 2 \cdot (1 + 2 + ... + 104) + 104 \cdot 5 = - 2 \cdot \dfrac{104 \cdot (104 + 1)}{2} + 104 \cdot 5$

$= - 104 \cdot 105 + 104 \cdot 5 = - 104 \cdot (105 - 5)$

$= - 104 \cdot 100 = \bf - 10400$