Question

2. Se consideră expresia E(x) = x³ + 3x² + 2x, unde x € R.
a) Arată că E(x) reprezintă un număr natural divizibil cu 6 pentru orice x = N.

Answer 1

Răspuns:

E(x) este divizibil cu 2 și cu 3, adică E(x) este divizibil cu 6.

Explicație pas cu pas:

E(x) = x³ + 3x² + 2x

E(x) = x³ + x² + 2x² + 2x

E(x) = x²(x+1) + 2x(x+1)

E(x) = (x+1)(x² + 2x)

E(x) = (x+1) · x (x+2)

E(x) = x(x+1)(x+2)

Așadar, E(x) este un produs de 3 numere consecutive (x, x+1 și x+2)

Asta înseamnă că cel puțin unul dintre numere este par, deci E(x) este divizibil cu 2.   (1)

De asemenea, fiind 3 numere consecutive, cel puțin unul este multiplu al lui 3, deci E(x) este divizibil cu 3.  (2)

Din (1) și (2) ⇒ E(x) este divizibil cu 2×3, adică E(x) este divizibil cu 6.