Question

2. Se consideră expresiile E₁(x) = (x − 3)² – (x + 1)² și E₂(x) = (x + 4)² − (x - 2)², unde x este număr real.
a) Arată că E₂(x) = 12(x + 1), pentru orice număr real x.
b) Dacă n este număr natural impar, demonstrează că E₁(n) + E2(n) se divide cu 8.​

Answer 1

Calculăm expresiile și folosim formulele de calcul prescurtat

$\boxed {(a - b)(a + b) = {a}^{2} - {b}^{2}\ \ \ \ \ \ \ (a \pm b)^{2} = {a}^{2} \pm 2ab + {b}^{2}}$

a)

$E_{2}(x) = (x + 4)^{2} - (x - 2)^{2} = (x+4-x+2)(x+4+x-2)=$

$= 6(2x + 2) = \bf 12(x + 1)$

b)

$E_{1}(x) = (x - 3)^{2} - (x + 1)^{2} = (x-3-x-1)(x-3+x+1) =$

$= -4(2x - 2) = \bf-8(x - 1)$

folosim formulele obținute pentru cele două expresii:

$E_{1}(n) + E_{2}(n) = -8(n - 1) + 12(n + 1) = -8n + 8 + 12n + 12 = 4n + 20$

din ipoteză, n este număr natural impar și are forma:

$n = 2k + 1 \ , \ \ k \in \mathbb{N}$

rescriem expresiile:

$E_{1}(n) + E_{2}(n) = 4n + 20 = 4(2k + 1) + 20 = 8k + 4 + 20 =$

$= 8k + 24 = \bf 8(k + 3) \ \vdots \ 8$

$q.e.d.$