Question

2 Se consideră numărul natural A = 6.2n+1.8n+ 15 2n8n+1+2n. 8n+2, unde n este un număr natural. a) Arată că A este pătratul unui număr natural, pentru orice n e N. b) Demonstrează că 28 | A, pentru orice număr natural n.
va rog ajutor, e urgent :(​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$A = 6 \cdot {2}^{n + 1} \cdot {8}^{n} + 15 \cdot {2}^{n} \cdot {8}^{n + 1} + {2}^{n} \cdot {8}^{n + 2}$

$= 6 \cdot 2 \cdot {2}^{n} \cdot {8}^{n} + 15 \cdot {2}^{n} \cdot 8 \cdot{8}^{n} + {2}^{n} \cdot {8}^{2} \cdot {8}^{n}$

$= {2}^{n}\cdot {8}^{n}\cdot(6\cdot 2 + 15\cdot 8 + 64)$

$= {2}^{n}\cdot {\left({2}^{3} \right)}^{n}\cdot(12 + 120 + 64)$

$= {2}^{n + 3n}\cdot 196 = {2}^{4n}\cdot {14}^{2} = {\left(14\cdot {2}^{2n} \right)}^{2}$

=> A este pătratul unui număr natural, pentru orice n∈N

b)

$A = {2}^{4n}\cdot {14}^{2} = 2\cdot {2}^{4n-1}\cdot {14}^{2} \\ = (2\cdot 14)\cdot{2}^{4n-1}\cdot 14 = 28 \left({2}^{4n-1} \cdot 14 \right)$

=> 28 | A, pentru orice număr natural n

q.e.d.