Question

2. Se consideră numerele naturale nenule a şi b, cu a<b, care au (a; b) = 12 şi [a, b] = 504. S-a notat cu (a, b)
cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b, iar cu [a, b] cel mai mic multiplu comun al numerelor a şi b
a) Determină minimul sumei a + b.
b) Determină maximul diferenţei b-a.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a<b ; (a; b) = 12 ; [a, b] = 504

a × b = (a; b)×[a, b] = 12×504 = 6048

din: (a; b) = 12

a = 12x, x≠1, x∈N

b = 12y, y≠0, y∈N și (x;y) = 1

a×b = 12x•12y = 144xy

144x•y = 6048 => x•y = 42

42 = 1×42 = 2×21 = 3×14 = 6×7

a)

a+b = 12•(x+y)

x = 1 și y = 42 => x+y = 1+42 = 43

x = 2 și y = 21 => x+y = 2+21 = 23

x = 3 și y = 14 => x+y = 3+14 = 17

x = 6 și y = 7 => x+y = 6+7 = 13

minimul sumei a+b se obține pentru minimul sumei x+y

$\implies a+b = 12 \cdot 13 = \bf 156$

b)

b-a = 12•(y-x)

x = 1 și y = 42 => y-x = 42-1 = 41

x = 2 și y = 21 => y-x = 21-2 = 19

x = 3 și y = 14 => y-x = 14-3 = 11

x = 6 și y = 7 => y-x = 7-6 = 1

maximul diferenței b-a se obține pentru maximul diferenței y-x

$\implies b-a = 12 \cdot 41 = \bf 492$